1.3. Сохранение энергии при гармонических колебаниях

Умножим уравнение (1.18) гармонических колебаний на скорость изменения переменной x:

(1.28)

Каждое из слагаемых можно представить как соответствующую производную:

так что уравнение (1.28) записывается в виде:

(1.29)

Отсюда следует, что величина в скобках не зависит от времени, то есть сохраняется в процессе колебаний:

(1.30)

Для выяснения физического смысла сохраняющейся величины применим эти соотношения к пружинному маятнику, когда Видим, что уравнение (1.30) можно записать в виде суммы кинетической энергии груза и потенциальной энергии сжатой пружины:

(1.31)

Таким образом, найденный закон сохранения есть не что иное, как закон сохранения полной энергии системы. Аналогично, для электромагнитного контура переменная

и В этом случае соотношение (1.30) принимает вид:

(1.32)

Первый член – это энергия магнитного поля в катушке, а второй – энергия электрического поля в конденсаторе. Снова мы получили, что сохраняется полная энергия в системе.

Возвращаясь к общей форме (1.30) закона сохранения энергии и подставляя сюда общее решение (1.23), получаем законы изменения во времени кинетической и потенциальной энергий (или их аналогов) и выражение для сохраняющейся полной энергии:

(1.33)

Отсюда следует, что

• кинетическая и потенциальная энергии – периодические функции времени с периодом, равным половине периода колебаний;

• кинетическая и потенциальная энергии колеблются в противофазе: когда кинетическая энергия достигает максимума, значение потенциальной энергии минимально и наоборот;

• в колебательной системе энергия периодически «перекачивается» из одной формы в другую, а полная энергия Е=К+П сохраняется;

• полная энергия колебаний пропорциональна квадрату их амплитуды и квадрату частоты.

Сказанное проиллюстрировано на рис. 1.11, на котором показаны изменения кинетической и потенциальной энергий для пружинного маятника и электромагнитного контура.

Рис. 1.11. Изменения во времени различных форм энергии в колебательной системе: 1  пружинный маятник; 2   электромагнитный колебательный контур

1.4. Сложение колебаний одного направления

Может случиться так, что осциллятор принимает участие в двух одинаково направленных колебаниях с разными амплитудами, частотами и начальными фазами. Рассмотрим сложение таких колебаний.

Сложение колебаний с одинаковыми частотами

Для простоты рассмотрим сначала случай, когда частоты складываемых колебаний одинаковы. Общие решения складываемых гармонических колебаний имеют вид:

(1.34)

где x₁, x₂ – переменные, описывающие колебания, A₁, A₂ – их амплитуды, а ₁, ₂ – начальные фазы. Результирующее колебание удобно найти с помощью векторной диаграммы. Этот метод использует аналогию между вращением и колебательным процессом.

Возьмем общее решение (1.23) для гармонического колебания. Выберем ось 0x. Из точки 0 отложим вектор длиной A, образующий с осью 0x угол . Если привести этот вектор во вращение с угловой скоростью ₀, то проекция конца этого вектора будет перемещаться по оси 0x от +A до –A, причем величина проекции будет изменяться по закону

(1.35)

Таким образом, проекция конца вектора на ось 0x будет совершать гармонические колебания с амплитудой, равной длине вектора, с круговой частотой, равной угловой скорости вращения вектора, и с начальной фазой, равной углу, образуемому вектором с осью в начальный момент времени (рис. 1.12).

Рис. 1.12. Векторная диаграмма для общего решения (1.23)

Применим теперь эту технику к сложению колебаний (1.34). Представим оба колебания с помощью векторов А₁ и А₂  Возьмем их векторную сумму (рис. 1.13)

Рис. 1.13. Векторная диаграмма для сложения одинаково направленных колебаний одинаковой частоты

Проекция вектора А₁ на ось 0x равна сумме проекций соответствующих векторов

Таким образом, вектор А представляет собой результирующее колебание. Этот вектор вращается с той же угловой скоростью ₀, так что результирующее движение будет гармоническим колебанием с частотой ₀, амплитудой A и начальной фазой . Имеем согласно теореме косинусов:

(1.36)

В частности, если фазы складываемых колебаний равны или отличаются на четное кратное  (то есть ₁-₂=2n), то амплитуда результирующего колебания равна сумме амплитуд

Если же складываемые колебания находятся в противофазе (то есть ₁-₂=(2n+1)), то

Биения

В этом разделе мы рассмотрим случай сложения одинаково направленных гармонических колебаний с разными частотами. На практике особый интерес представляет случай, когда складываемые колебания мало отличаются по частоте. Как мы увидим, в результате сложения этих колебаний получаются колебания с периодически изменяющейся амплитудой, называемые биениями.

Биения  это периодическое изменение амплитуды колебаний, возникающее при сложении двух гармонических колебаний с близкими частотами.

Для простоты рассмотрим случай, когда амплитуды складываемых колебаний равны A, а начальные фазы обоих колебаний равны нулю. Частоты складываемых колебаний равны, соответственно,  и . Итак,

(1.37)

Складываем эти выражения и учитываем известную формулу тригонометрии:

(1.38)

Если  то в аргументе второго косинуса мы можем пренебречь сдвигом частоты:

(1.39)

Кроме того, множитель в скобках меняется медленно по сравнению с cos t. Поэтому результирующее колебание x можно рассматривать как гармоническое колебание с частотой , эффективная амплитуда A_эфф которого изменяется со временем по закону (1.40) (рис. 1.14):

(1.40)

Рис. 1.14. Биения при сложении колебаний с близкими частотами

 

Частота пульсаций амплитуды (ее называют частотой биений) равна разности частот складываемых колебаний. Период биений равен

(1.41)

Колебания двух связанных осцилляторов

Приведем поучительный пример системы, в которой возникают биения. Рассмотрим два груза массой m, которые могут колебаться по действием двух одинаковых пружин с коэффициентами жесткости k. Пусть грузы соединены также мягкой пружиной с коэффициентом жесткости K<<k. Будем полагать длины всех пружин в нерастянутом состоянии одинаковыми и равными 2L (рис. 1.15).

Рис. 1.15. Пример связанных осцилляторов. Колебания происходят вдоль оси 0х, сила тяжести не учитывается

Тогда в положении равновесия координаты грузов равны

При колебаниях координаты равны, соответственно, x₁(t), x₂(t). Удлинения пружин записываются как

Мы имеем дело с системой с двумя степенями свободы. Составим уравнения движения. На первый груз действуют сила со стороны пружины k, равная

и сила со стороны пружины K, равная

На второй груз действуют аналогичные силы

и

Соответственно, уравнения движения имеют вид

(1.42)

Эти уравнения не слишком похожи на первый взгляд на уравнения гармонических колебаний, потому что на колебания x₁ оказывают влияния колебания x₂ и наоборот. Поэтому преобразуем уравнения к новым переменным, колебания которых были бы независимыми (такие переменные называют нормальными колебаниями (модами). Именно, введем новые переменные _{1 }и ₂

(1.43)

 Как легко убедиться, положению равновесия соответствуют координаты

В этих переменных уравнения (1.42) принимают вид:

(1.44)

Складывая и вычитая эти уравнения, приходим к паре независимых уравнений для колебаний нормальных мод:

(1.45)

Первое уравнение описывает гармонические колебания с частотой совпадающей с частотой колебаний пружинных маятников в отcутствие соединительной пружины К. Второе уравнение описывает колебания со сдвинутой частотой Так как K<<k, имеем

(1.46)

 

Соответственно, мы получаем общее решение системы уравнений:

(1.47)

Общее решение для координат х₁ и х₂ колеблющихся точек следуют из (1.47) и (1.43):

(1.48)

Для примера рассмотрим случай, когда первая масса оттягивается на расстояние a от положения равновесия и отпускается с нулевой начальной скоростью, а вторая масса остается в положении равновесия:

(1.49)

Этому соответствуют начальные условия для нормальных мод:

(1.50)

Такие уравнения мы уже решали выше. Ответ будет

(1.51)

Подставляя найденные амплитуды и начальные фазы в (1.48), получаем решения, описывающие биения наших масс около их положений равновесия:

(1.52)

 Графики функций x₁(t), x₂(t) показаны на рис. 1.16.

Рис. 1.16. Биения в системе двух связанных осцилляторов

В начальный момент времени колеблется лишь первый груз. Затем начинает колебаться второй, а амплитуда колебаний первого уменьшается. Через время t=/???первый груз останавливается, а второй колеблется с максимально возможной амплитудой. Произошла «перекачка» энергии от первого маятника ко второму. Затем процесс «перекачки» энергии идет в обратном направлении и к моменту t=2/ первый маятник колеблется с максимальной амплитудой, а второй покоится.

На рис. 1.17 демонстрируются биения в системе двух связанных математических маятников.

Рис. 1.17. Биения в системе связанных маятников

Выясним теперь физический смысл нормальных мод, соответствующих чисто гармоническим колебаниям системы. Если возбуждены колебания только первой из них (₁), то A₂ = 0 и, как следует из общего решения (1.48),

(1.53)

Иными словами, первая нормальная мода соответствует такому колебанию, когда оба груза смещаются на одинаковые расстояния от их положений равновесия, но в противоположные стороны. Скорости движения грузов также равны по величине и противоположны по направлению, так что центр масс грузов остается неподвижным. Колебания происходят под действием пружин с жесткостью k, к которым добавляется соединительная пружина с жесткостью К. Как следствие, частота таких колебаний больше частоты колебаний несвязанных осцилляторов

Возбуждение только второй (₂) нормальной моды означает, что A₁=0:

(1.54)

В этом случае грузы смещаются из положения равновесия в одну сторону на одинаковые расстояния. Скорости их также одинаковы по величине и направлению. Соединительная пружина колеблется вместе с грузами, но остается не растянутой и потому не оказывает влияния, так что частота колебаний совпадает с частотой колебаний несвязанных маятников. В разобранном случае мы познакомились с нормальными модами и выяснили, что их частоты сдвигаются по сравнению с частотами колебаний несвязанных маятников. Любое другое колебательное движение системы можно представить как суперпозицию нормальных мод. Аналогичным образом можно рассмотреть цепочку из множества связанных друг с другом осцилляторов и изучить их нормальные колебания. Такая система представляет собой модель кристаллической решетки.