2. Высота звука и устройство музыкальной шкалы

Равномерная темперация

Одной из важнейших характеристик музыкального звука является его высота, количественной мерой которой служит частота  колебаний соответствующего вибратора (столбика воздуха в духовых инструментах, струны – в струнных и т.п.). Частота колебаний может принимать любые значения, но с точки зрения восприятия музыкального звука наблюдается известная периодичность: два звука воспринимаются как аналогичные, если частота одного из них ровно в два раза превышает частоту другого. Эту аксиому эквивалентности звуков провозгласил в 1722 г. французский композитор Жан Филипп Рамо. Таким двум звукам соответствует одна и та же нота, и, как говорят, их разделяет интервал, называемый октавой.

Международным стандартом для ноты «ля» первой октавы установлена частота _а¹=440 Гц. Нота «ля» следующей, второй октавы, имеет частоту, ровно в два раза большую – _а²=880 Гц  В европейской системе октава делится на двенадцать разных звуков (вспомните, например, семь белых и пять черных клавиш в каждой октаве фортепиано). Интервал между соседними звуками называется полутоном. Как же настроить соответствующие вибраторы, исходя из стандартной частоты _а¹? Один из способов – равномерный строй (как говорят музыканты – равномерная темперация), когда отношение между частотами соседних звуков постоянно. Это отношение, как легко понять, равно Именно это число, будучи умноженным само на себя 12 раз, дает в результате удвоение частоты для той же ноты в следующей октаве: Приняв равномерно-темперированный строй, мы можем рассчитать частоты любых нот. Так, нота «ля» первой октавы и нота «до» второй октавы разделены тремя полутонами, то есть частота последней должна равняться Соответственно, частота _с¹=261.6 Гц ноты «до» первой октавы получается отсюда делением на двойку. Нота «соль» первой октавы отстоит от «до» той же октавы на семь полутонов, то есть ее частота равна Результаты подобных расчетов для четырех октав приведены в таблице 3.2.

Таблица 3.2.

Высота музыкальных звуков при равномерно-темперированном строе: для каждой ноты указаны ее международное (латинское) обозначение и частота в герцах

Большая октава
ДО	ДО диез	ре	ре диез	ми	фа	фа диез	соль	соль диез	ля	си бемоль	си
С	Cis	D	Dis	Е	F	Fis	G	Gis	А	В	Н
65.4	69.3	73.4	77.8	82.4	87.3	92.5	98.0	103.8	110	116.5	123.5
Малая октава
ДО	ДО диез	ре	ре диез	ми	фа	фа диез	соль	соль диез	ля	си бемоль	си
с	cis	d	dis	е	f	lis	g	gis	а	b	h
130.8	138.6	146.8	155.6	164.8	174.6	185.0	196.0	207.6	220	233.1	246.9
Первая октава
ДО	ДО диез	ре	ре диез	ми	фа	фа диез	соль	соль диез	ля	си бемоль	си
с1	cis1	d1	dis1	е1	f1	lis1	g1	gis1	а1	Ь1	h1
261.6	277.2	293.7	311.1	329.6	349.2	370.0	392.0	415.3	440	466.2	493.9
Вторая октава
ДО	ДО диез	ре	ре диез	ми	фа	фа диез	соль	соль диез	ля	си бемоль	си
с2	cis2	d2	dis2	е2	f2	lis2	g2	gis2	а2	Ь2	h2
523.3	554.4	587.3	622.3	659.3	698.5	740.0	784.0	830.6	880	932.3	987.8

Заметим, кстати, что эти октавы выбраны для примера не случайно: именно в этом диапазоне лежит голос человека. Самый высокий женский певческий голос – сопрано, для которого характерен диапазон с¹–e³ (редко – до g³). На несколько тонов ниже лежит диапазон меццо-сопрано: а–h². Самый низкий женский голос – контральто, его типичный диапазон – f–а². Особо надо упомянуть контратеноров – современных исполнителей произведений, написанных некогда для певцов-кастратов. Но диапазон последних был необычайно широк, и немногие из нынешних певцов в полной мере могут воспроизвести некогда популярные произведения. «Типичные» контратеноры (если можно говорить о типичности столь редких голосов) поют в диапазоне (c–e²), отличаясь от контральто тембром.

Самый высокий из обычных мужских голосов – тенор, для него типичен диапазон с–с². Далее следуют баритон (А–f¹) и бас (С–е¹). Таким образом, «вокальные» частоты простираются от примерно 70 Гц до 1 400 Гц (здесь идет речь об основной ноте, а не о примеси обертонов). Примерные диапазоны певческих голосов показаны на рис. 3.17 вместе с диапазонами струнных инструментов – скрипки, альта, виолончели и контрабаса. Король инструментов – концертный рояль – содержит обычно 7.25 октав: от А₂ (27.5 Гц) до с⁵ (4 186 Гц).

Рис. 3.17. Примерные диапазоны струнных инструментов и человеческих голосов

Идея равномерной темперации родилась в Германии на рубеже XVII–XVIII веков. Приведенная музыкальная шкала поначалу встретила сопротивление, но после сочинения И. С. Бахом в 1722–1744 гг. «Хорошо темперированного клавира» – сборника прелюдий и фуг, по одной на каждую из существующих 24 тональностей, – жизнеспособность новой шкалы была доказана. С тех пор она и стала общепринятой. Основное достоинство равномерно темперированной шкалы – это возможность транспонировать мелодию в другой диапазон без ее искажения. Например, мелодия «Чижика» (ми¹ – до¹ – ми¹ – до¹ – фа¹ – ми¹ – ре¹), играемая в первой октаве, соответствует последовательности частот (в Гц): 330–262–330–262–349–330–294 (мы округлили значения, приведенные в таблице 3.2). Предположим, мы хотим сыграть ее, перенеся начало на три клавиши выше – с ноты «си», которой соответствует частота 494 Гц. Отношение первых нот оригинальной и транспонированной мелодий равно 493.7/329.6=1.4983=2^7/12 (показатель степени соответствует семи полутонам, разделяющий ноты «ми» и «си» – см. рис. 3.17). Таким же должно быть отношение вторых и всех последующих нот мелодии. Стало быть, последовательность частот транспонированной мелодии должна иметь вид 494–392–494–392–523–494–440, то есть транспонированная мелодия прозвучит как си¹ – соль¹ – си¹ – соль¹ – до² – си¹ – ля¹.

Почему же равномерно темперированная музыкальная шкала вызывала возражения? Дело в том, что еще в древности, со времен Пифагора, было известно, что некоторые ноты, взятые одновременно, звучат в консонанс, благозвучно, не вступают в противоречие друг с другом. К таким двузвучиям Пифагор относил октаву (отношение частот 2:1), квинту (3:2) и кварту (4:3) – так называемые совершенные консонансы. Позже к ним причислили еще большую и малую терции (5:4 и 6:5). Что же общего между консонансом двузвучия и отношением первых шести целых чисел?