3.3. Энергия волны

Рассмотрим для примера звуковую волну. Элемент объема на рис. 3.2. имеет кинетическую энергию:

(3.33)

При его деформации в данном объеме газа запасается потенциальная энергия П. Рассматривая колебания поршня, мы получили выражение (1.13) для силы упругости при перемещении поршня на расстояние х:

(3.34)

Этот закон аналогичен закону Гука для силы упругости при сжатии или растяжении пружины. Следовательно, потенциальная энергия газа равна в данном случае

(3.35)

Произведение Sx=V равно изменению объема газа под поршнем. Поэтому (3.35) можно записать в виде:

(3.36)

Применим это выражение к объему газа в звуковой волне. Давление в стационарном состоянии мы обозначили р₀. Объем в стационарном состоянии равен V₀=Sx. Изменение объема при колебаниях равно

Получаем тогда для потенциальной энергии данного объема газа:

(3.37)

Сумма кинетической и потенциальной энергии равна полной энергии данного объема. Плотность энергии w в волне получаем, разделив полную энергию на величину объема:

(3.38)

Учитывая, что фазовая скорость волны равна

записываем (3.38) в виде:

(3.39)

Точно такое же выражение получается для волны в твердом теле (неважно, продольной ли, поперечной ли) и для волны вдоль струны.

Подставляя сюда решение (3.22)

для монохроматической волны и учитывая соотношение

получаем для объемной плотности кинетической энергии одинаковые выражения

так что их сумма есть

(3.40)

Плотность энергии волны различна в разных точках пространства и в разные моменты времени. Зафиксируем какую-то точку х и усредним плотность энергии в данной точке по времени. Среднее значение квадрата синуса равно 1/2. Получаем тогда, что

среднее значение плотности энергии постоянно для всех точек среды и равно                                 (3.41)

Таким образом, среда обладает полным запасом энергии, плотность которой пропорциональна плотности среды, квадрату циклической частоты и квадрату амплитуды. (Напомним, что для колебания системы с одной степенью свободы энергия колебания также была пропорциональна квадрату частоты и квадрату амплитуды колебания.)

Если вернуться к выражению (3.40) для мгновенного значения плотности энергии, то легко убедиться, что любое взятое значение плотности энергии, например, ее максимум

перемещается вдоль оси х с фазовой скоростью волны скоростью v. Иными словами, волна переносит энергию. Эта энергия доставляется, естественно, от источника колебаний. Можно ввести также вектор плотности потока энергии

который равен энергии, переносимой в единицу времени через единичную площадку, ортогональную направлению распространения волны

Применения к звуковой волне

Смещение частиц газа описывается стандартным решением:

где фазовая скорость

Под р и  понимаются давление и плотность невозмущенного газа.

Смещение частиц приводит к появлению избыточного давления

(3.42)

Здесь мы использовали соотношение (3.4).

Учитывая, что

формулу (3.42) можно переписать в виде:

(3.43)

Заметим, что колебания давления сдвинуты на /2 по отношению к колебаниям смещения частиц газа. При максимальном смещении

давление равно стационарному значению, то есть

Наоборот, амплитуда давления достигает максимума при нулевом смещении частиц газа.

Интенсивность I волны  это среднее значение плотности потока энергии в ней:                           (3.44)

Интенсивность волны, так же, как и объемная плотность энергии, пропорциональна квадрату амплитуды.

Звуковые волны принято характеризовать уровнем громкости L, измеряемым в децибеллах (дБ). Связь уровня громкости с интенсивностью звуковой волны дается формулой:

(3.45)

где

Выбор I₀ связан с порогом слышимости в области частот 1 000 Гц  4 000 Гц, к которым наиболее восприимчиво ухо человека. Таким образом, при I=I₀ уровень громкости полагается равным нулю. При интенсивностях волны порядка

волна перестает восприниматься как звук, вызывая только ощущение боли. Этому соответствует уровень громкости

Найдем связь между интенсивностью звуковой волны, избыточным давлением р, создаваемым ею, и смещениями частиц газа. Амплитуда колебаний давления в волне равна (см. (3.43)):

откуда

(3.46)

Интенсивность волны выражаем также через амплитуду давления:

(3.47)

Отсюда находим избыточное давление в звуковой волне:

(3.48)

Учитывая, что плотность воздуха при нормальных условиях равна =1.2 кг/м³, получаем амплитуду колебаний давления на болевом пороге (L=120 дБ, I=1Вт/м²):

Амплитуда смещения частиц газа зависит при этом от частоты:

Отсюда следует, что при громкости L=120 дБ и частоте =20 Гц смещение составляет А=5.6·10^-4 м=0.56 мм, а на частоте =20 кГц  А=5.6·10^7 м=0.56 мкм.

Найдем теперь амплитуду колебания скорости частиц газа:

(3.49)

Она не зависит от частоты волны и при громкости L=120 дБ равна:

В таблице 1 представлены значения уровня громкости для некоторых звуков, с помощью которых можно найти избыточное давление, смещения и скорости частиц газа в иных случаях.

 

Таблица 1

Уровни громкости некоторых звуков

 

Звук	L, дБ
Шелест листьев	10
Шепот, тиканье часов	20
Уличный шум (без автотранспорта)	30
Нормальный разговор	60
Крик	80
Рок-группа	110
Болевой предел	120
Реактивный двигатель на расстоянии 50 м	130
Стартующая ракета на расстоянии 50 м	200