1. Колебательное движение 2

1.1. Уравнение гармонических колебаний 2

1.2 Гармонические колебания 7

1.3. Сохранение энергии при гармонических колебаниях 12

1.4. Сложение колебаний одного направления 15

1.5. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний 23

1.6. Свободные затухающие колебания 25

1.7. Вынужденные колебания 31

2. ПЕРЕМЕННЫЙ ТОК 36

2.1. Переменный ток через элементы цепи 36

2.2. Цепь переменного тока 39

2.3. Резонансные явления 42

2.4. Мощность в цепи переменного тока 46

3. ВОЛНОВЫЕ ПРОЦЕССЫ 48

3.1. Волны в упругих средах 48

3.2. Решение волнового уравнения 55

3.4. Стоячие волны 66

3.5. Сферические волны 83

3.6. Электромагнитные волны 95

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ 107

Основные формулы 110

СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ 115

1. Буквы греческого алфавита 115

2. Десятичные приставки к названиям единиц 115

3. Математические формулы 116

3.1. Формулы тригонометрии 116

3.2. Таблица производных 117

3.3. Таблица интегралов 117

3.4. Некоторые приближенные формулы 117

3.5. Формулы векторной алгебры 118

3.6. Формулы векторного анализа 119

3.7. Частные производные 119

4. Основные физические постоянные 120

5. Работа выхода электронов из металлов 120

6. Масса нейтральных атомов 121

7. Масса и энергия покоя некоторых частиц и легких ядер 122

8. Таблица коэффициентов Стьюдента t_p() 122

1. Колебательное движение

1.1. Уравнение гармонических колебаний

В этом разделе мы покажем, что уравнения колебательного движения многих систем, в сущности, одинаковы, так что различные физические процессы могут быть описаны одними и теми же математическими формулами.

Пружинный маятник

Пружинный маятник  это система, состоящая из шарика массой m, подвешенного на пружине.

Рис. 1.2. К выводу уравнения движения для пружинного маятника

В положении равновесия (рис. 1.2) сила тяжести mg уравновешивается упругой силой kl₀: откуда

(1.1)

где l₀ – статическое удлинение пружины. Направим ось x вниз и выберем начало отсчета так, что координата x=0 соответствует положению неподвижного шарика в положении равновесия.

Если теперь оттянуть шарик от положения равновесия на расстояние x, то полное удлинение пружины станет равным l₀+x. По закону Гука результирующая сила будет тогда равна

		(1.2)
Учитывая, что получим		(1.3)

Знак минус означает, что сила стремится уменьшить отклонение от положения равновесия. Полученное выражение соответствует упругой силе слабо деформированной пружины.

Запишем теперь уравнение второго закона Ньютона: Его можно также представить в виде:

(1.4)

Математический маятник

Математический маятник  это идеализированная система, состоящая из невесомой и нерастяжимой нити, на которой подвешена масса, сосредоточенная в одной точке.

Будем характеризовать отклонение маятника от положения равновесия углом , который образует нить с вертикалью (рис. 1.3). Рис. 1.3. К выводу уравнения движения математического маятника

При отклонении маятника от положения равновесия на материальную точку массой m действуют сила тяжести mg и сила натяжения нити T. Их равнодействующая F направлена по касательной к окружности радиусом l  и равна Скорость материальной точки тоже направлена по касательной и равна так что тангенциальное ускорение будет Записываем теперь уравнение движения

(1.5)

(знак минус соответствует тому, что сила F стремится уменьшить угол  ). При небольших отклонениях маятника Получаем тогда:

(1.6)

Физический маятник

Физический маятник  это колеблющееся тело, закрепленное на оси, которое невозможно представить как материальную точку.

Пример физического маятника приведен на рис. 1.4.

Рис. 1.4. К выводу уравнения движения физического маятника

При отклонении маятника от положения равновесия на угол   возникает вращательный момент, стремящийся вернуть маятник в положение равновесия. Этот момент равен

(1.7)

где m – масса маятника, а l – расстояние 0C между точкой подвеса 0 и центром масс C маятника. Рассматривая   как вектор, связанный с направлением поворота правилом правого винта, противоположность знаков M и  можно объяснить тем, что векторы M и  направлены в противоположные стороны. Обозначив момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку подвеса, как I, для маятника можно записать основное уравнение динамики вращательного движения:

(1.8)

Ограничимся рассмотрением малых колебаний: В этом случае уравнение колебаний принимает вид:

(1.9)

 В случае, когда физический маятник можно представить как материальную точку, колеблющуюся на нити длиной l, момент инерции которой равен мы приходим к уравнению (1.6) движения математического маятника.

Колебания поршня в сосуде с идеальным газом

Рассмотрим поршень массой m и площадью поверхности S, прикрывающий сосуд объемом V₀ с идеальным газом, изолированным от окружающей среды (рис. 1.5).

Рис. 1.5. Колебания поршня, закрывающего сосуд с идеальным газом

Пусть в состоянии равновесия давление в сосуде равно p₀. Это давление складывается из атмосферного давления p_А и давления mg/S, оказываемого поршнем:

(1.10)

 Переместим поршень на расстояние x. Объем сосуда увеличится и станет равным Соответственно уменьшится давление. Новое давление можно найти из уравнения адиабаты Пуассона откуда

(1.11)

Здесь  – показатель адиабаты, зависящий от числа степеней свободы молекул газа.

При малых колебаниях, когда смещения поршня много меньше высоты сосуда можно разложить р в ряд Тейлора:

(1.12)

На поршень действуют три силы: сила атмосферного давления p_АS, сила давления газа в сосуде pS и сила тяжести mg. Знаки сил соответствуют выбору положительного направления оси x вверх. Используя (1.10) и (1.12), находим для равнодействующей F этих сил:

(1.13)

Записываем теперь уравнение движения поршня в виде

(1.14)

Электромагнитный контур

Рассмотрим колебательный контур, состоящий из конденсатора емкостью C и катушки индуктивностью L (рис. 1.6).

Рис. 1.6. Электромагнитный колебательный контур: 1   t=0; 2   t=Т/4; 3   t=Т/2; 4   t=3Т/4; 5   t=Т

Сопротивлением катушки и проводов пренебрегаем. Пусть в цепи идет ток I, заряжающий конденсатор: Так как внешняя ЭДС к контуру не приложена, то ЭДС самоиндукции равна напряжению Q/C на конденсаторе. Имеем два уравнения:

(1.15)

Подставляя первое уравнение во второе, получаем уравнение для изменения заряда на конденсаторе:

(1.16)

Вместо использованной подстановки выражения тока через заряд можно продифференцировать второе из уравнений (1.15) и выразить производную от заряда через ток. В результате получим аналогичное уравнение для изменения тока в цепи:

(1.17)

с тем же выражением для ₀, что и в (1.16).