60. Понятие прямолинейной корреляции. Нахождение параметров уравнения регрессии, оценка тесноты связи при прямолинейной зависимости.

Корреляция – это статистическая зависимость между случайными величинами, не имеющими строго функционального характера, при которой изменение одной из случайных величин приводит к изменению математического ожидания другой.

Первоначально исследования корреляции проводились в биологии, а позднее распространились и на другие области, в том числе на социально-экономическую. Одновременно с корреляцией начала использоваться и регрессия. Корреляция и регрессия тесно связаны между собой: корреляция оценивает силу (тесноту) статистической связи, регрессия исследует ее форму. Та и другая служат для установления соотношения между явлениями, для определения наличия или отсутствия связи.

Корреляционный и регрессионный анализ как общее понятие включает в себя измерение тесноты, направления связи и установление аналитического выражения (формы) связи (регрессионный анализ).

Уравнение регрессии имеет следующий вид:

, где выравненные значения результативного признака

параметры уравнения прямой

Если > 0, то связь между признаками прямая; < 0- обратная

Конечной целью корреляционного анализа всегда является получение количественной оценки тесноты связи между признаками. Для решения этой задачи используются относительные показатели измерения тесноты связи. К ним относятся коэффициент корреляционного отношения (индекс корреляции) и парный линейный коэффициент корреляции Пирсона :

Коэффициент корреляционного отношения применяется для изменения тесноты связи при любых формах зависимости, в то время как парный линейный коэффициент корреляции - только для линейной связи между признаками. При линейной связи значение индекса корреляции и коэффициента корреляции совпадают и показатель тесноты целесообразно исчислять в виде коэффициента корреляции, который представляет собой среднюю арифметическую из произведения нормированных отклонений, т.е.

По исходным данным коэффициент корреляции можно исчислять так:

Парный линейный коэффициент корреляции принимает значения от -1 до +1. Если он положительный, то связь между признаками прямая, если отрицательный – обратная.

61. Понятие криволинейной зависимости. Оценка тесноты связи при криволинейной зависимости.

Когда с изменением факторного признака меняется не только признак-результат, но и интенсивность этого изменения, то имеет место нелинейная зависимость.

Для оценки параметров нелинейных уравнений регрессии используется 2 подхода:

• при помощи математических преобразований исходных переменных представляют зависимость в линейной форме

• применяют методы нелинейной оптимизации к исходным данным в том случае, когда линеаризующее преобразование невозможно.

Регрессионное уравнение может быть нелинейным по переменным и нелинейным по параметрам. Если уравнение нелинейно по переменным, то его можно свести к линейному виду путем введения новых переменных.

Примерами регрессионных уравнений, нелинейных по факторным переменным и линейных по оцениваемым параметрам, могут служить:

• уравнение равносторонней гиперболы

• уравнение параболы

Примерами регрессионных уравнений, линейных по факторным переменным и нелинейных по оцениваемым параметрам, могут служить:

• степенная функция

• экспонента

• показательная функция

62. Понятие о множественной корреляции

При анализе сложных экономич. явлений и процессов всегда следует исходить из предположения, что на анализируемый результативный признак воздействует множество факторов как в одном, так и в противоположных направлениях.

В ходе множественного корреляционного анализа рассчитываются следующие характеристики:

• парные коэффициенты корреляции оценки тесноты линейной корреляционной связи между всеми парами анализируемых признаков с учетом их взаимного влияния и взаимодействия.

• частные коэффициенты корреляции характеризующие тесноту линейной корреляционной связи между парой анализируемых признаков (х_i и у) в условиях элиминирования (элиминирование - это исключение из рассмотрения в процессе анализа, расчета, контроля признаков, факторов, показателей, заведомо не связанных с изучаемым, анализируемым, контролируемым процессом, явлением) влияния на эту пару других переменных( . Эти коэффициенты характеризуют чистую корреляцию.

• множественный коэффициент корреляции характеризующий степень тесноты связи между результативным признаком у и всеми факторными признаками . Для двух факторов, влияющих на результативный признак , множественный коэффициент корреляции вычисляется из парных коэффициентов корреляции по формуле

• множественный коэффициент детерминации характеризующий долю дисперсии результативной переменной, обусловленную влиянием факторных переменных, участвующих в анализе.

где - определитель матрицы парных корреляций

- определитель матрицы, полученный после вычеркивания в матрице парных корреляций строки и столбца, представляющих связи зависимой переменной (у).

При множественной корреляционной связи между результативными и факторными признаками чаще всего используется линейная регрессионная модель вида

где - значение результативного признака у отдельных единиц совокупности

- перечень признаков-факторов включенных в регрессионное уравнение

а₀ - свободный член уравнения

- коэффициенты регрессии, показывающие на сколько увеличится или уменьшится результативный признак при изменении каждого из признаков-факторов на единицу своего измерения.