5.Численные методы решения нелинейных уравнений. Постановка задачи. Уточнение корня методом касательных

Рассмотренные ранее методы (дихотомии, хорд) решения нелинейных уравнений являются методами прямого поиска. В них для нахождения корня используется нахождение значения функции в различных точках интервала [a,b].

Метод Ньютона относится к градиентным методам, в которых для нахождения корня используется значение производной.

Дано нелинейное уравнение f(x)=0. Найти корень х* на интервале [a,b] с точностью ε>0.

Метод Ньютона основан на замене исходной функции f(x), на каждом шаге поиска касательной, проведенной к этой функции, с координатами (b;F(b)).

О бозначим точку пересечения касательной с осью ОХ с₁ и запишем уравнение касательной как прямой, проходящей через данную точку с данным угловым коэффициентом:

Так как с₁ принадлежит касательной, то ее координаты (с1;0) удовлетворяют уравнению касательной

Отсюда выражаем с₁:

Полученная формула называется формулой метода касательных, а с₁ – первым приближением к х*. Очевидно, что теперь корень уравнения находится на отрезке [a;c₁]. Продолжим построение касательной по указанному выше алгоритму, получим рекуррентную формулу метода касательных:

Вычисления следует закончить, когда расстояние между двумя соседними приближениями станет <ε, т.е. |c_n-c_n-1|≤ε.

Для того чтобы точка пересечения касательной с осью абсцисс попала в отрезок [a,b], необходимо касательную строить в том конце отрезка, в котором знак функции совпадает со знаком второй производной.

Е сли возникнет ситуация, в которой касательную нужно строить в точке а (рис), то формулы метода касательных примут вид:

…

6. Численные методы решения нелинейных уравнений. Постановка задачи. Уточнение корня комбинированным методом

В общем случае нелин. уравнения с одной переменной можно записать так: F(x)=0 (1), где F(x) определена и непрерывна на некотором отрезке [a,b]. Всякое число α, обращающее F(x) в 0, называется корнем уравнения (1).

Комбинированный метод

Часто возникает необходимость скомбинировать методы уточнения корней, чтобы ускорить сходимость итерационного процесса.

Е сли заметить, что метод хорд и касательной даёт приближение к корню с разных концов отрезка, то можно скомбинировать эти методы. Пусть корень уравнения отделен на отрезке , точность.

; - формула метода хорд

;-формула метода касательных

Очевидно, что теперь корень находится на отрезке [c1;c2]

;

;

;

.

Заметим, что в комбинированном методе точное значение корня всегда находится между двумя соседними приближениями. Процесс вычислений заканчиваем, когда расстояние между двумя соседними приближениями будет меньше .

_В этом случае за корень можно принять любую точку из

7. Точные и приближенные методы решения систем линейных уравнений. Метод последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса)

Численные методы СЛАУ можно разделить на точные и приближенные.

Метод решения системы является точным, если он дает принципиальную возможность получить решение системы после конечного числа алгебраических операций. К ним относятся метод Крамера, подстановки, метод последовательного исключения неизвестных и его модификации.

Приближенными методами являются те методы, которые позволяют получить только приближенные решения, причем количество итераций зависит от точности. К ним относятся метод простой итерации, метод Зейделя, метод ортогонализации и др.

Метод Гаусса

Метод Гаусса позволяет в процессе преобразования матрицы не только находить решения системы, но и решать вопрос о существовании и количестве решений матрицы.

Из основной теоремы высшей алгебры известно, что если ранг матрицы равен рангу расширенной матрицы и равен количеству уравнений в системе, то система имеет единственное решение. Если ранг матрицы равен рангу расширенной матрицы, но меньше количества уравнений в системе, то система имеет бесконечное число решений. Если ранг матрицы меньше ранга расширенной матрицы, то система не имеет решений.

Для определенности будем рассматривать только те СЛАУ, которые имеют единственное решение.

Система n линейных уравнений в общем виде выглядит так:

Метод последовательного исключения неизвестных с выбором главного элемента заключается в том, что матрица коэффициентов при неизвестных x приводится к треугольному виду: по главной диагонали – единицы, ниже главной – нули, а остальное как получится.

Рассмотрим метод на примере системы уравнений с 4-мя неизвестными. Разместим коэффициента матрицы и коэффициенты расширенной матрицы в таблице.

Предположим, что (важно). Разделим первую строку на коэффициент при x₁.

;

Чтобы получить 0 во второй строке при х₁, мы должны из второй строки вычесть преобразованную первую, умноженную на a₂₁:

;

;

Деление повторять до получения нулей ниже главной диагонали:

Обратный ход заключается в следующем: из последней строки находим иксы.

;

;

;

;