1. Основы теории погрешностей

2. Численные методы решения нелинейных уравнений. Постановка задачи. Отделение корней

3. Численные методы решения нелинейных уравнений. Постановка задачи. Уточнение корня методом половинного деления

4. Численные методы решения нелинейных уравнений. Постановка задачи. Уточнение корня методом хорд

5. Численные методы решения нелинейных уравнений. Постановка задачи. Уточнение корня методом касательных

6. Численные методы решения нелинейных уравнений. Постановка задачи. Уточнение корня комбинированным методом

7. Точные и приближенные методы решения систем линейных уравнений. Метод последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса)

8. Точные и приближенные методы решения систем линейных уравнений. Метод квадратных корней

9. Численные методы интерполирования функций. Постановка задачи. Формула Лагранжа для неравноотстоящих узлов

10. Таблица конечных разностей. Свойства конечных разностей

11. Численные методы интерполирования функций. Постановка задачи. Первая формула Ньютона для равноотстоящих узлов

12. Постановка задачи численного интегрирования. Формулы прямоугольников. Двойной пересчет

13. Постановка задачи численного интегрирования. Формула трапеций

14. Постановка задачи численного интегрирования. Формула Симпсона

15. N-мерное метрическое пространство, расстояние между точками

16. Принцип сжатых отображений. Теорема о неподвижной точке

17. Принцип сжатых отображений. Решение нелинейных уравнений методом итераций. Оценка погрешности

18. Принцип сжатых отображений. Теоремы о достаточных условиях сходимости итерационной последовательности

19. Принцип сжатых отображений. Правило утроенного отрезка

20. Геометрическая интерпретация сходимости итерационной последовательности

21. Применение принципа сжатых отображений для решения систем линейных уравнений. Метод простой итерации. Оценка погрешности

22. Применение принципа сжатых отображений для решения систем линейных уравнений. Метод Зейделя. Оценка погрешности

23. Методы экспериментальной обработки данных. Метод наименьших квадратов

24. Методы экспериментальной обработки данных. Нахождение аппроксимирующей функции в виде линейной регрессии

25. Методы экспериментальной обработки данных. Нахождение аппроксимирующей функции в виде квадратичной регрессии

26. Методы экспериментальной обработки данных. Нахождение аппроксимирующей функции в виде степенной, показательной и других функций

1. Основы теории погрешностей

Мерой точности приближенных чисел является погрешность. Различают два вида погрешностей: абсолютную и относительную.

Абсолютная погрешность некоторого числа равна разности между его истинным значением и приближенным значением, полученным в результате вычислений. ∆x=x-a

Относительная погрешность – отношение точного значения к приближенному значению.

бх=

Максимальное значение абсолютной и относительной погрешности называют предельной абсолютной и предельной относительной погрешностью соответственно. На практике, если нет специальной договоренности, абсолютная погрешность числа считается равной единице последнего разряда.

Источники погрешностей:

1. Неточное изображение реальных процессов с помощью математики.

2. Приближенные значения некоторых величин, участвующих в решении задач (π=3,14154; e=2,7218).

3. Замена бесконечных процессов конечными.

4. Округление исходных данных, промежуточных и конечных результатов.

5. Результат действия над приближенными числами.

Математическая модель для определенного процесса может внести существенные погрешности, если в ней не учтены какие-либо важные черты рассматриваемой задачи. В частности мат. модель может прекрасно работать в одних условиях и быть неприемлемой в других. Поэтому важно учитывать её особенности. Исходные данные в задаче – основной источник погрешности. Вместе с погрешностями, вносимыми мат. моделью они определяют неустранимые погрешности, т.к. они не могут быть уменьшены ни до начала решения, ни в процессе. Численный метод так же является источником погрешности. Это связано с заменой интеграла интегральной суммой, усечением рядов, интерполированием табличных данных и т.д. При вычислениях с помощью компьютера неизбежны погрешности округлений в связи с ограниченностью разрядной сетки.

Как правило, погрешность численного метода регулируема, т.е. теоретически она может быть уменьшена путём изменения некоторого параметра (шага интегрирования, числа члена усеченного ряда и т.д.). Для уменьшения погрешности округлений в связи с ограниченностью разрядной сетки можно использовать систему с более расширенной разрядной сеткой.

2. Численные методы решения нелинейных уравнений. Постановка задачи. Отделение корней

В общем случае нелин. уравнения с одной переменной можно записать так: F(x)=0 (1), где F(x) определена и непрерывна на некотором отрезке [a,b]. Всякое число α, обращающее F(x) в 0, называется корнем уравнения (1).

Поскольку подавляющее большинство нелинейных уравнений с одной переменной не решаются путем аналитических преобразований (т.е. точными методами), на практике их решают только численными методами. Решить такое уравнение означает: выяснить, имеет ли оно корни, сколько корней и уточнить корни с заданной степенью точности.

Отделение корней

Говорят, что корень x* уравнения (1) отделен на отрезке [a,b], если он содержится в данном отрезке и других корней в этом отрезке нет. Провести полное отделение корней означает: разбить всю область допустимых значений на отрезки, в каждом из которых содержится ровно по одному корню или не содержится вовсе.

Рассмотрим графический метод отделения корней.

Отделение корней уравнения f(x)=0 графическим методом начинают с построения графика функции y=f(x). Абсциссы точек пересечения графика функции с осью абсцисс и есть корни уравнения. Иногда построить график функции y=f(x) достаточно сложно. Тогда уравнение f(x)=0 преобразовывают к виду f₁(x)=f₂(x) так, чтобы графики функций f₁(x) и f₂(x) было легче построить. Абсциссы точек пересечения этих графиков и есть корни уравнения.

При графическом отделении корней уравнения результат зависит от точности построения графиков. Поэтому используем аналитический численный метод отделения корней, основанный на следующем факте: если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], принимает на концах этого отрезка значения противоположных знаков, а производная f'(x) на интервале (a;b) сохраняет постоянный знак, то внутри отрезка существует единственный корень уравнения f(x)=0. Этот критерий успешно применяется для уравнений f(x)=0, для которых знак производной определяется несложно.

Пример. Рассмотрим уравнение x³-3x-0,4=0 и отрезок [-2;-1]. Функция f(x)=x³-3x-0,4 непрерывна на данном отрезке. На концах отрезка функция принимает значения противоположных знаков: f(-2)=-2,4 и f(-1)=1,6. Очевидно, что для всех    производная f'(x)>0, так как f'(x)=3x²-3=3(x-1)(x+1). Следовательно, на интервале (-2;-1) находится корень уравнения и он единственный. Аналогично можно убедиться в том, что внутри отрезков [-1;0], [1;2] находится также по одному корню.