1. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши. Теорема существования и единственности задачи Коши. Общее решение.

2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Однородные уравнения.

3. Линейные уравнения. Уравнение Бернулли.

4. Уравнение в полных дифференциалах.

5. Дифференциальные уравнения высших порядков. Основные понятия. Задача Коши. Теорема Коши.

6. Уравнения, допускающие понижения порядка.

7. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка, свойства их решений.

8. Линейно-зависимые и линейно независимые системы функций. Определитель Вронского. Фундаментальная система решений. Структура общего решения линейного однородного дифференциального уравнения.

9. Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами. Фундаментальная система решений. Структура общего решения.

10. Виды частных решений линейных однородных дифференциальных уравнений второго и n-го порядка с постоянными коэффициентами в зависимости от корней характеристического уравнения; общее решение.

11. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков. Структура общего решения.

12. Метод вариации произвольных постоянных решения ЛНДУ высших порядков.

13. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида. Метод неопределенных коэффициентов.

14. Системы дифференциальных уравнений. Нормальные системы. Основные понятия. Метод исключения неизвестных.

15. Системы дифференциальных уравнений. Решение линейных однородных систем методом Эйлера.

16. Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Свойства рядов.

17. Ряд геометрической прогрессии. Необходимый признак сходимости числового ряда. Гармонический ряд.

18. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. Признаки сравнения. Признак Даламбера.

19. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. Радикальный признак Коши. Интегральный признак Коши.

20. Знакочередующиеся и знакопеременные ряды. Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимость ряда.

21. Функциональные ряды. Область сходимости. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус сходимости. Свойства степенных рядов.

22. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение функций в степенные ряды.

23. Применение степенных рядов в приближенных вычислениях.

24. Тригонометрические ряды. Определение коэффициентов тригонометрического ряда. Условие разложимости функций в ряд Фурье.

25. Ряды Фурье для четных и нечетных функций. Ряды Фурье для функции произвольного периода. Разложение в ряд Фурье непериодических функций.

Вариант№1

Контрольная работа №5 «дифференциальные уравнения»

1. Решить дифференциальные уравнения первого порядка.

2. Решить дифференциальное уравнение второго порядка.

3. Решить линейные дифференциальные уравнения второго порядка

а)

б)

4. Решить систему дифференциальных уравнений.

Контрольная работа №6 «ряды»

1. Записать формулу общего члена ряда .

2. Пользуясь необходимым признаком сходимости, доказать расходимость ряда .

3. Исследовать ряд на сходимость, применяя достаточный признак сходимости.

4. Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость.

5. Записать ряд в развернутом виде. Найти его область сходимости. Вычислить с точностью 0,01 сумму ряда в точках , где – радиус сходимости, – центр интервала сходимости.

6. Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням , используя таблицу разложений элементарных функций в степенные ряды, если =1.

7. Вычислить интеграл с точностью 0,001, разложив подынтегральную функцию в степенной ряд.

8. Вычислить с помощью степенных рядов значение выражения с точностью 0,0001.

9. Найти 4 первых ненулевых члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения , удовлетворяющего начальному условию .

1 0. Разложить в ряд Фурье изображенную на рисунке периодическую функцию с периодом T=4.

Вариант 2 Контрольная работа №5 «дифференциальные уравнения»

1. Решить дифференциальные уравнения первого порядка.

2. Решить дифференциальное уравнение второго порядка.

3. Решить линейные дифференциальные уравнения второго порядка

а)

б)

4. Решить систему дифференциальных уравнений.

Контрольная работа №6 «ряды»

1. Записать формулу общего члена ряда .

2. Пользуясь необходимым признаком сходимости, доказать расходимость ряда .

3. Исследовать ряд на сходимость, применяя достаточный признак сходимости.

4. Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость.

5. Записать ряд в развернутом виде. Найти его область сходимости. Вычислить с точностью 0,01 сумму ряда в точках , где – радиус сходимости, – центр интервала сходимости.

6. Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням , используя таблицу разложений элементарных функций в степенные ряды, если =1.

7. Вычислить интеграл с точностью 0,001, разложив подынтегральную функцию в степенной ряд.

8. Вычислить с помощью степенных рядов значение выражения с точностью 0,0001.

9. Найти 4 первых ненулевых члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения , удовлетворяющего начальному условию .

1 0. Разложить в ряд Фурье изображенную на рисунке периодическую функцию с периодом T=2.

Вариант 3 Контрольная работа №5 «дифференциальные уравнения»

1. Решить дифференциальные уравнения первого порядка.

2. Решить дифференциальное уравнение второго порядка.

3. Решить линейные дифференциальные уравнения второго порядка

а)

б)

4. Решить систему дифференциальных уравнений.

Контрольная работа №6 «ряды»

1. Записать формулу общего члена ряда .

2. Пользуясь необходимым признаком сходимости, доказать расходимость ряда .

3. Исследовать ряд на сходимость, применяя достаточный признак сходимости.

4. Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость.

5. Записать ряд в развернутом виде. Найти его область сходимости. Вычислить с точностью 0,01 сумму ряда в точках , где – радиус сходимости, – центр интервала сходимости.

6. Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням , используя таблицу разложений элементарных функций в степенные ряды, если =–2.

7. Вычислить интеграл с точностью 0,001, разложив подынтегральную функцию в степенной ряд.

8. Вычислить с помощью степенных рядов значение выражения с точностью 0,0001.

9. Найти 4 первых ненулевых члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения , удовлетворяющего начальным условиям .

1 0. Разложить в ряд Фурье изображенную на рисунке периодическую функцию с периодом T.