Вариант № 8
Задача 1. Найти область определения
функции
.
Задача 2.
а). Найти частные производные первого
порядка функции
.
б). Показать, что функция
удовлетворяет уравнению
.
в). Найти производные
,
сложной функции:
,
где
,
.
Задача 3.
а). Дана функция
,
вектор
и точка A(-1; 5). Найти
,
,
.
б). Составить уравнение касательной
плоскости и нормали к поверхности
в точке
.
Построить поверхность.
Задача 4. Исследовать на экстремум
функцию двух независимых переменных
.
Задача 5. На плоскости
найти точку, сумма квадратов расстояний
которой от точек
и
была бы наименьшей.
Задача 6. Изменить порядок интегрирования
в интеграле:
.
Задача 7. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
а)
,
.
б)
(вне окружности).
Задача 8. Вычислить объём фигуры
,
ограниченной поверхностями:
.
Задача 9. Определить массу контура
эллипса
,
если линейная плотность его в каждой
точке
равна
.
Задача 10. Найти момент инерции
относительно оси
фигуры, ограниченной линиями
.
Задача 11. Найти центр тяжести
однородной фигуры, ограниченной
поверхностями
.
Вариант № 9
Задача 1. Найти область определения
функции
.
Задача 2.
а). Найти частные производные первого
порядка функции
.
б). Показать, что функция
удовлетворяет уравнению
.
в). Найти производные
,
сложной функции:
,
где
,
.
Задача 3.
а). Дана функция
,
вектор
и точка A(3;2). Найти
,
,
.
б). Составить уравнение касательной
плоскости и нормали к поверхности
в точке
.
Построить поверхность.
Задача 4. Исследовать на экстремум
функцию двух независимых переменных
.
Задача 5. На параболе
найти точку, наименее удаленную от
прямой
.
Задача 6. Изменить порядок интегрирования
в интеграле:
.
Задача 7. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
а)
.
б)
(вне окружности).
Задача 8. Вычислить объём фигуры
,
ограниченной поверхностями:
.
Задача 9. Найти длину дуги конической
винтовой линии
от точки
до точки
.
Задача 10. Найти момент инерции
относительно оси
фигуры, ограниченной линиями
,
.
Задача 11. Найти центр тяжести
однородной фигуры, ограниченной
поверхностями
.
Вариант № 10
Задача 1. Найти область определения
функции
.
Задача 2.
а). Найти частные производные первого
порядка функции
.
б). Показать, что функция
удовлетворяет уравнению
.
в). Найти производные
,
сложной функции:
,
где
,
.
Задача 3.
а). Дана функция
,
вектор
и точка A(2;4). Найти
,
,
.
б). Составить уравнение касательной
плоскости и нормали к поверхности
в точке
.
Построить поверхность.
Задача 4. Исследовать на экстремум
функцию двух независимых переменных
.
Задача 5. На плоскости
найти точку, сумма квадратов расстояний
которой от плоскостей
и
была бы наименьшей.
Задача 6. Изменить порядок интегрирования в интеграле:
.
Задача 7. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
а)
,
,
.
б)
.
Задача 8. Вычислить объём фигуры
,
ограниченной поверхностями:
.
Задача 9. Найти длину кривой
между точками пересечения с осью
.
Задача 10. Найти координаты центра
тяжести площади, ограниченной параболами
.
Задача 11. Найти момент инерции
однородного тела, ограниченного
поверхностями
относительно начала координат.