Вариант № 5

Задача 1. Найти область определения функции .

Задача 2.

а). Найти полный дифференциал функции .

б). Показать, что функция удовлетворяет уравнению .

в). Найти производные , сложной функции: , где , .

Задача 3.

а). Дана функция , вектор и точка A(2;3). Найти , , .

б). Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке . Построить поверхность.

Задача 4. Исследовать на экстремум функцию двух независимых переменных .

Задача 5. В данный шар диаметра вписать прямоугольный параллелепипед наибольшего объема.

Задача 6. Изменить порядок интегрирования в интеграле: .

Задача 7. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) , .

б) (вне окружности).

Задача 8. Вычислить объём фигуры , ограниченной поверхностями: .

Задача 9. Найти длину дуги кривой от до .

Задача 10. Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченной линиями , если плотность .

Задача 11. Найти статический момент относительно плоскости фигуры, ограниченной поверхностями .

Вариант № 6

Задача 1. Найти область определения функции .

Задача 2.

а). Найти частные производные первого порядка функции .

б). Показать, что функция удовлетворяет уравнению .

в). Найти производные , сложной функции: , где , .

Задача 3.

а). Дана функция , вектор и точка A(2;1). Найти , , .

б). Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке . Построить поверхность.

Задача 4. Исследовать на экстремум функцию двух независимых переменных .

Задача 5. Представить положительное число в виде произведения трех положительных сомножителей так, чтобы их сумма была наименьшей.

Задача 6. Изменить порядок интегрирования в интеграле: .

Задача 7. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) , .

б) , (вне окружности).

Задача 8. Вычислить объём фигуры , ограниченной поверхностями: .

Задача 9. Найти длину дуги кривой от т. до т. .

Задача 10. Найти статический момент относительно оси фигуры, ограниченной линиями , если плотность .

Задача 11. Найти координаты центра тяжести однородной фигуры, ограниченной поверхностями .

Вариант № 7

Задача 1. Найти область определения функции .

Задача 2.

а). Найти частные производные первого порядка функции .

б). Показать, что функция удовлетворяет уравнению .

в). Найти производные , сложной функции: , где , .

Задача 3.

а). Дана функция , вектор и точка A(-2; 0). Найти , , .

б). Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке . Построить поверхность.

Задача 4. Исследовать на экстремум функцию двух независимых переменных .

Задача 5. Найти наибольший объем прямоугольного параллелепипеда при условии, что длина его диагонали равна .

Задача 6. Изменить порядок интегрирования в интеграле: .

Задача 7. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) , .

б) (вне первой).

Задача 8. Вычислить объём фигуры , ограниченной поверхностями: .

Задача 9. Найти массу первого витка винтовой линии если плотность в каждой точке постоянна и равна .

Задача 10. Найти массу фигуры, ограниченной линиями , если плотность .

Задача 11. Найти момент инерции относительно оси фигуры, ограниченной поверхностями .