Вариант № 2

Задача 1. Найти область определения функции .

Задача 2.

а). Найти полный дифференциал функции .

б). Показать, что функция удовлетворяет уравнению .

в). Найти производные , сложной функции: , где , .

Задача 3.

а). Дана функция , вектор и точка A(1;3). Найти , , .

б). Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке . Построить поверхность.

Задача 4. Исследовать на экстремум функцию двух независимых переменных .

Задача 5. Найти прямоугольный параллелепипед данного объема , имеющий наименьшую поверхность.

Задача 6. Изменить порядок интегрирования в интеграле: .

Задача 7. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) , .

б) (вне окружности).

Задача 8. Вычислить объём фигуры , ограниченной поверхностями: .

Задача 9. Вычислить криволинейный интеграл I рода:

(первая арка).

Задача 10. Найти момент инерции относительно оси фигуры, ограниченной линиями , .

Задача 11. Найти координаты центра тяжести однородной фигуры, ограниченной поверхностями .

Вариант № 3

Задача 1. Найти область определения функции .

Задача 2.

а). Найти полный дифференциал функции .

б). Показать, что функция удовлетворяет уравнению .

в). Найти производные , сложной функции: , где , .

Задача 3.

а). Дана функция , вектор и точка A(1;2). Найти , , .

б). Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке . Построить поверхность.

Задача 4. Исследовать на экстремум функцию двух независимых переменных .

Задача 5. Сечение канала имеет форму равнобочной трапеции данной площади. Как выбрать его размеры, чтобы омываемая поверхность канала была наименьшей?

Задача 6. Изменить порядок интегрирования в интеграле: .

Задача 7. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) .

б) (вне окружности).

Задача 8. Вычислить объём фигуры , ограниченной поверхностями: .

Задача 9. Вычислить криволинейный интеграл I рода:

от до .

Задача 10. Найти координаты центра тяжести площади, ограниченной параболами и .

Задача 11. Найти момент инерции однородного тела плотности , ограниченного поверхностями: относительно начала координат.

Вариант № 4

Задача 1. Найти область определения функции .

Задача 2.

а). Найти полный дифференциал функции .

б). Показать, что функция удовлетворяет уравнению .

в). Найти производные , сложной функции: , где , .

Задача 3.

а). Дана функция , вектор и точка A(4;1). Найти , , .

б). Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке . Построить поверхность.

Задача 4. Исследовать на экстремум функцию двух независимых переменных .

Задача 5. Определить размеры конуса наибольшего объема при условии, что его боковая поверхность равна .

Задача 6. Изменить порядок интегрирования в интеграле:

.

Задача 7. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) .

б) (вне окружности).

Задача 8. Вычислить объём фигуры , ограниченной поверхностями:

.

Задача 9. Найти длину дуги кривой , отсеченной осью .

Задача 10. Найти статический момент относительно оси плоской однородной фигуры, ограниченной линиями .

Задача 11. Найти координаты центра тяжести однородной фигуры, ограниченной поверхностями .