Контрольная работа № 4

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

МАГНИТОГОРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. Г.И. НОСОВА

КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ №2

Функция нескольких переменных кратные интегралы

Варианты заданий к контрольной работе №4 для

студентов заочного факультета металлургия

Магнитогорск

2011

Составители: Маяченко Е.П.,

Шарабуряк Ю.А.

Функция нескольких переменных: Варианты заданий к контрольной работе №4 для студентов заочного факультета всех специальностей. Магнитогорск: МГТУ, 2011. 11с.

Рецензент: Акманова З.С.

© Маяченко Е.П., Шарабуряк Ю.А., 2011

Теоретические вопросы

1. Определение функции нескольких переменных. Область определения. Замкнутые и открытые области. Способы задания.

2. Предел и непрерывность функции нескольких переменных.

3. Частные производные функции нескольких переменных, их геометрический смысл.

4. Дифференцируемость и полный дифференциал функции нескольких переменных. Применение полного дифференциала к приближенным вычислениям.

5. Производная сложной функции нескольких переменных. Полная производная.

6. Дифференцирование неявной функции нескольких переменных.

7. Экстремум функции двух переменных. Необходимые и достаточные условия экстремума.

8. Условный экстремум функции двух переменных.

9. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в ограниченной замкнутой области.

10. Двойной интеграл. Основные понятия и определения. Геометрический и физический смысл двойного интеграла. Основные свойства двойного интеграла.

11. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах.

12. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах.

13. Приложения двойного интеграла к задачам геометрии и механики.

14. Тройной интеграл. Определение. Свойства тройного интеграла.

15. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах.

16. Замена переменных в тройном интеграле. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах.

17. Приложения тройного интеграла к задачам геометрии и механики.

18. Криволинейный интеграл 1 рода. Вычисление, свойства, приложения.

19. Поверхностный интеграл 1 рода. Свойства, вычисление, приложения.

Вариант № 1

Задача 1. Найти область определения функции .

Задача 2.

а). Найти полный дифференциал функции .

б). Показать, что функция удовлетворяет уравнению .

в). Найти производные , сложной функции: , где , .

Задача 3.

а). Дана функция , вектор и точка A(1;2). Найти , , .

б). Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке . Построить поверхность.

Задача 4. Исследовать на экстремум функцию двух независимых переменных .

Задача 5. Найти размеры прямоугольного параллелепипеда, который имеет наибольший объем при данной полной поверхности .

Задача 6. Изменить порядок интегрирования в интеграле: .

Задача 7. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) , , .

б) окружностью и кардиоидой (вне кардиоиды).

Задача 8. Вычислить объём фигуры , ограниченной поверхностями: .

Задача 9. Вычислить криволинейный интеграл I рода:

от до .

Задача 10. Найти центр тяжести однородной пластины , ограниченной линиями:

Задача 11. Найти момент инерции относительно оси фигуры, ограниченной поверхностями: .