Приемы рациональных вычислений в начальном курсе математики Приемы рациональных вычислений в начальном курсе математики

Одна из важнейших задач обучения младших школьников математике – формирование у них вычислительных навыков, основой которых является осознанное и прочное усвоение приемов устных и письменных вычислений. Их усвоение происходит в результате длительного выполнения тренировочных упражнений. Выполнение большого количества однотипных упражнений, безусловно, способствует усвоению вычислительного приема, но вместе с тем снижает познавательную активность, у детей пропадает интерес, рассеивается внимание, нарастает число ошибок и т.п.

В условиях развивающего обучения система заданий, направленная на усвоение вычислительных умений и навыков, должна формировать обобщенные способы действий, побуждать учащихся к самостоятельному поиску новых способов действий, рассмотрению нескольких способов решения задания и оцениванию их с точки зрения рациональности. Использование рациональных приемов, помогающих во многих случаях значительно облегчить процесс вычислений, способствует формированию положительных мотивов к этому виду учебной деятельности. Поэтому работа по поиску рациональных приемов вычислений должна проводиться постоянно, систематически и органически увязываться с изучаемым материалом.

К сожалению, далеко не всегда удается добиться этой цели в силу существующих объективных и субъективных причин. Одной из наиболее важных объективных причин неумения школьников использовать рациональные приемы вычислений является недостаточная математическая подготовка самих учителей. Учителю, прежде всего самому необходимо усвоить теоретические основы рациональных вычислений, научиться их использовать, а затем уже овладеть умениями, связанными с обучением учащихся рациональным вычислениям.

Округление одного или нескольких слагаемых

Одно (или несколько слагаемых) заменяют ближайшим к нему «круглым» числом, находят сумму «круглых» чисел, а затем соответствующее дополнение (дополнения) до «круглого» числа прибавляют к полученной сумме или вычитают из нее.

Пример:

1. 173+59=(173+(59+1))-1=(173+60)-1=233-1=232

2. 882+197=(882+(197+3))-3=(882+200)-3=1082-3=1079

3. 78+364=364+78=(360+80)+4-2=440+2=442

Прием округления слагаемых состоит в том, что:

• вычитают слагаемые или одно из них (обычно до большего круглого числа); находят сумму;

• вычитают из суммы столько, на сколько всего увеличивали слагаемые при округлении:

а + 29 = (а + 30) – 1

58 + а + 19 = (60 + а + 20) – 2 – 1

Прием округления вычитаемого.

1. Если вычитаемое заменяют меньшим круглым числом, то из результата надо вычесть столько, на сколько уменьшили вычитаемое при округлении:

а – 42 = (а – 40) – 2

b – 84 = (b – 80) – 4

2. Если вычитаемое заменяют большим круглым числом, то к результату надо прибавить столько, на сколько увеличили вычитаемое при округлении:

а – 49 = (а – 50) + 1

b – 98 = (b – 100) + 2

Группировка вокруг одного и того же «корневого» числа

Суть приема объясним на примере.

Пример: Пусть требуется найти сумму 57+54+53+55+54+52+54+50.

Легко заметить, что все эти числа близки к числу 54, поэтому его считают «корневым», а искомую сумму вычисляют в следующей последовательности:

1. находят сумму «корневых» чисел: 54×8=432, т.к. в сумме 8 слагаемых;

2. находят сумму отклонений каждого числа от «корневого»; при этом, если число больше «корневого», отклонение берется со знаком «+», если число меньше «корневого – со знаком «-»: 3+0-1+1+0-2+0-4=-3;

3. получившуюся сумму алгебраически прибавляют к результату первого пункта: 432+(-3)=432-3=429.

Выбор «корневого» числа не влияет на окончательный результат. Так, если считать, что «корневое» число не 54, а 55, то вычисления будут следующими:

1. 55×8=440,

2. 2-1-2+0-1-3-1-5=-11,

3. 440-11=429

«Корневое» число обычно берут такими, чтобы наиболее просто находилась сумма отклонений.

Вынесение общего множителя

При сложении нескольких чисел, имеющих общий множитель, находят сумму чисел в скобках, а затем находят произведение общего множителя и полученной суммы.

Пример.

28+20+36+16=4×(7+5+9+4)=4×25=100

Увеличение или уменьшение уменьшаемого и вычитаемого

на одно и то же число единиц

Суть приема поясним на примерах.

Пример:

342-26=(342-2)-(26-2)=340-24=316

Этот прием особенно хорош тогда, когда вычитаемое близко к «круглому» числу.

Пример:

1285-296=(1285+4)-(296+4)=1289-300=1289-(200+100)=(1289-200)-100-1089-100=989

Округление вычитаемого

Вычитаемое заменяют ближайшим к нему «круглым» числом, находят разность, а затем соответствующее дополнение до «круглого» числа прибавляют к полученной разности или вычитают из нее.

Пример:

1285-296=1285-((296+4)=1285-(300-4)=(1285-300)+4=

=1285-(200+100)+4=(1085-100)+4=985+4=989

Умножение на 2

Умножение на 2 - поочередно удваиваем каждую цифру данного числа.

136×2=272

124×2=248

Умножение на 3

Правило умножения на 3 выглядит следующим образом:

1. Первая цифра: вычтите ее из 10 и удвойте. Если цифра нечетная, прибавьте 5.

2. Средние цифры: вычтите цифру из 9 и полученное удвойте, затем прибавьте половину соседа и 5, если цифра нечетная.

3. Самая левая цифра: разделите на 2самую левую цифру большого числа и вычтите 2.

Например, умножим 2588 на 3.

Первый шаг.

* 02588 × 3 4

4 – это 10 минус 8, удваиваем; соседа нет.

Второй шаг.

* * 02588 × 3 64

6 – это 9 минус 8, удваиваем (получаем 2), плюс половина от 8.

Третий шаг.

* * 02588 × 3 .764

9 минус 5, удваиваем, плюс 5, плюс половина от 8.

Четвертый шаг.

* * 0 2 588 × 3 .7.764

Последний шаг.

* * 0 2 588 × 3 0.7.764

Нуль – это половина от 2 «плюс точка» минус 2.