Расчетно-графическая работа по дисциплине «Методы оптимизации» на тему «Решение задач линейного программирования»

1. Цели и задачи расчетно-графической работы

Цель работы: приобретение навыков решения задач линейного программирования и транспортных задач с помощью MS Excel.

Задачи работы:

• Научиться формулировать математическую постановку основной и двойственной задачи линейного программирования;

• Научиться сводить транспортную задачу к задаче линейного программирования;

• Научиться искать решение задач линейного программирования с помощью надстройки Solver пакета MS Excel.

2. Теоретическая часть

   1. Основная и двойственная задачи линейного программирования

В теории линейного программирования в качестве основной можно принять следующую задачу максимизации линейной функции на множестве решений системы линейных уравнений и неравенств.

Задача I. Заданы вещественные числа

, , , ,

и фиксированы разбиения каждого из множеств

,

на два непересекающихся подмножества

, , , .

Требуется максимизировать линейную функцию

(1)

на множеств n-мерных векторов

х = (х₁, х₂, . . ., х_n), (2)

удовлетворяющих условиям

, , (3)

, (4)

, . (5)

Вектор (1), удовлетворяющий условиям (3) — (5), называется допустимым, а искомый допустимый вектор, доставляющий максимум функции (1), — оптимальным. Сразу же отметим, что в поставленной задаче не при любых исходных данных имеются допустимые векторы, так как условия (3) — (5) могут оказаться несовместны­ми. Далее, при наличии допустимых векторов не обяза­тельно существуют оптимальные. Соответствующие приме­ры читателю предлагается построить самостоятельно.

Решающим в исследовании задачи I является рассмот­рение наряду с пей еще одной экстремальной задачи, ко­торая тесно связана с первой и является в определенном смысле двойственной к ней.

Задача I*. При исходных данных задачи I миними­зировать линейную функцию

(6)

на множестве m-мерных векторов

y = (y₁, y₂, ..., y_n), (7)

удовлетворяющих условиям

, , (8)

, (9)

, . (10)

Аналогично предыдущему вектор (7), удовлетворяющий условиям (8) – (10), называется здесь допустимым, а искомый допустимый вектор, доставляющий минимум функции (6) – оптимальным.

Отметим, что и в этой задаче не обязательно имеются допустимые векторы, а при наличии допустимых векторов не всегда существуют оптимальные.

Задачу I называется основной, а отвечающая ей задача I* — двойственной.

Легко видеть, что каждому ограничению основной задачи отвечает в двойственной задаче переменная с тем же номером , а каждой переменной задачи I — ограничение задачи I* с тем же номером . При этом на переменную накладывается ограничение неотрицатель­ности, если , т. е. эта переменная отвечает ограниче­нию в форме неравенства. Аналогично в двойственной за­даче в форме неравенств задаются ограничения с номерами , т. е. отвечающие неотрицательным переменным , задачи I. Далее, в каждом ограничении двойственной задачи коэффициент при переменной совпадает с коэф­фициентом при переменной в соответствующем ограни­чении основной задачи. Что касается свободных чле­нов в ограничениях (9) и (10), то они совпадают с коэффициентами при соответствующих переменных в ли­нейной функции (1). Наконец, коэффициенты при пере­менных в линейной функции (6) совпадают со свобод­ными членами в соответствующих ограничениях (4) и (5). Сказанное позволяет без излишней формализации по любой конкретной задаче I записать отвечающую ей за­дачу I*.