2.1. Частные производные

Рассмотрим функцию двух переменных z = f(x,y), заданную в некоторой области D. Если зафиксируем одну из переменных, например, положив у = у0, то получим функцию z = f(x, y0) только одной переменной х. Можно поставить вопрос о вычислении ее производной в точке х = х0 . Дадим значению аргумента х0 приращение Δх, тогда функция получит приращение, которое будем называть частным приращением (в связи с тем, что оно соответствует изменению только одного аргумента) функции z = f(x, y) по аргументу х и обозначать:

Δх z = Δх f(x0, y0) = f(x0 +Δx, y0) - f(x0, y0).

По определению производной для функции одной переменой z = f(x, y0) имеем

Для функции двух переменных z = f(x,y) предел (2) называется частной производной по х в точке (x0, y0) и обозначается одним из следующих способов:

Таким образом, приходим к следующему определению частной произ­водной.

Определение 1. Частной производной функции z = f(x, y) по переменной х называется предел отношения соответствующего частного приращения функции к приращению аргумента х при условии, что приращение аргумента стремится к нулю произвольным образом, т. е.

Если предел (2) существует, то частная производная функции z = f(x,y) по х в точке Р0 (x0, y0) имеет вполне определенное значение. При этом в различных точках плоскости она принимает, вообще говоря, различные значения. Таким образом, частная производная по х сама является функцией двух переменных, которая определена во всех точках плоскости, где существует

Аналогично определяют и обозначают частное приращение и частную производную функции z = f(x,y) по аргументу у:

Частная производная по х (у) выражает скорость изменения функции в данной точке в положительном направлении оси Ох (Оу).

Определение частного приращения и частной производной переносится на функции любого конечного числа переменных. Например, частная производная по переменной хk ( 1≤ k ≤ n) для y = f(P), где Р(х1, х2, ..., хn), определяется равенством:

При нахождении частной производной применимы все формулы и правила дифференцирования функции одной переменной, так как по определению мы фиксируем все переменные, кроме одной, и фактически имеем дело с функцией одной переменой. Если, например, находим производную по х, то все остальные аргументы рассматриваем как константы.

Пример 1. Найти частные производные функции z(x, y) = x² – 2y.

Решение. При нахождении считаем, что у – константа, а х – переменная величина, поэтому = (x² – 2y)′x= (x²)′x – (2y)′x = 2x. Аналогично, =( x² – 2y)′у= = (x²)′у – (2y)′у = – 2.

2. 2. Полное приращение и полный дифференциал

Пусть Р(х, у) и Р1(х1, у1) – точки области D, в которой задана функция z=f(x, y). Найдем изменение функции при переходе из точки Р в точку Р1. Разность значений функции в точках Р и Р1 называется полным приращением функции z = f(x, y) в точке Р и обозначается Δz(x, y) или Δf(P):

Δz(x,y) = Δf(P) = f(P1) − f(P) = f(x1, y1) − f(x,y).

Обозначим приращение аргументов х и у при переходе из точки Р в точку Р1 через Δх и Δу: Δх = х1 − х, Δу = у1 − у. Следовательно,

Δz(x,y) = f(x + Δx, y + Δy) − f(x,y).

Геометрически эта разность дает приращение аппликаты графика функции z = f(x, y) при переходе из точки Р в точку Р1. Используя понятие полного приращения функции, можно дать определение непрерывности функции в точке, равносильное данному ранее определению 6.

Теорема 1. Для того, чтобы функция z = f(x, y) была непрерывна в точке Р0(х0,у0), необходимо и достаточно, чтобы полное приращение функции Δz(P0) стремилось к нулю при Δx и Δy, стремящихся к нулю.

Определение 2. Функция z = f(x, y) называется дифференцируемой в точке Р(х, у), если ее полное приращение Δz(Р) можно представить в виде :

Δz(Р) = АΔx + ВΔy + γ, (3)

где А и В не зависят от Δx и Δy, а γ = γ (х, у, Δx, Δy) - бесконечно малая вели­чина более высокого порядка малости, чем ρ = при ρ → 0.

Таким образом, полное приращение дифференцируемой функции представимо в виде двух слагаемых, одно из них (АΔx + ВΔy) линейно зависит от Δx и Δy, а другое (γ ) – мало′ по сравнению с ρ (γ=о(ρ)) при ρ → 0. Отметим, что ρ равно расстоянию между точками Р1 и Р , поэтому условие ρ → 0 (Δx→ 0 и Δу→ 0 одновременно) равносильно условию Р1 → Р .

Слагаемое АΔx + ВΔy в (3) при ρ ≠ 0 составляет главную часть полного приращения функции и, как отмечалось выше, линейно зависит от Δx, Δy. Выражение АΔx+ВΔy называется полным дифференциалом функции z = f(x, y) и обозначается dz или df(x, y). В случае ρ = 0 полагают dz = 0.

Определение 3. Полным дифференциалом функции z = f(x, y) называ­ет­ся главная часть полного приращения функции, линейная относительно Δx и Δy, т. е.

df(x, y) = АΔx + ВΔy.

Из равенства (3) и теоремы 1 следует, что всякая дифференцируемая функция непрерывна.

Кроме того, из условия дифференцируемости функции в точке следует, что в данной точке существует полный дифференциал. Следующая теорема устанавливает связь между понятием дифференцируемости (дифференциалом) и частными производными.

Теорема 2. Если функция z = f(x, y) дифференцируема в точке Р(х, у), то в этой точке существуют частные производные z′x , z′y и справедливо равенство :

dz(x, y) = z′x Δx + z′y Δy . (4)

Отметим, что, в отличие от функции одной переменной, обратная теорема неверна: из существования частных производных еще не следует дифферен­цируемость функции. Однако если предположить, что частные производные не только существуют, но и непрерывны, то функция будет дифференци­руемой. Справедлива следующая теорема.

Теорема 3. Если функция z = f(x, y) имеет частные производные в некоторой окрестности точки Р(х, у), которые непрерывны в точке Р(х, у), то полное приращение представимо в следующем виде:

Δf(Р) = f ′x Δx + f ′y Δy + αΔx + βΔy,

где α и β стремятся к нулю при Δх → 0 и Δу → 0.

Легко показать, что γ = α Δх + β Δу = ο( ), следовательно, теорема 3 дает достаточное условие дифференцируемости функции в точке.

Приращения Δх и Δу независимых переменных х и у функции z = f(x, y) (как и в случае функции одной перерменной) будем называть их дифференциалами обозначать dx и dу, соответственно. Тогда согласно формуле (4) выражение полного дифференциала примет вид:

dz = f ′x dx + f ′y dy или dz = . (5)

В отличие от полного дифференциала функции z = f(x, y) выражения dxz = dx и dyz = dy называют частными дифференциалами этой функции.

Предыдущие рассуждения и определения соответствующим образом обобщаются на функции любого конечного числа переменных. Например, полный дифференциал функции f(х1, х2, ..., хn) определяется равенством:

т. е. равен сумме частных дифференциалов по всем переменным.

Все известные правила нахождения дифференциалов остаются справед­ливыми для функций нескольких переменных. В частности, для любых дифференцируемых функций u = u(P) и v = v(P) и константы с справедливы следующие формулы: