II. Все корни характеристического уравнения различные, но среди них есть комплексные.

Все коэффициенты дифференциального уравнения (14), а следовательно, и его характеристического уравнения (15) − действительные числа, значит, если cреди характеристических корней есть комплексный корень k₁ = а + ib, то есть и сопряженный ему корень k₂ = а − ib. Первому корню k₁ соответст­вует решение дифференциального уравнения (14)

₁(х) = е^{(a + ib)х} = е^aхе^ibх = е^aх(cosbx + isinbx)

(воспользовались формулой Эйлера е^iх = cosx + isinx). Аналогично, корню k₂ = а − ib соответствует решение

₂(х) = е^{(a - ib)х} = е ^aхе ^{− ibх} = е^aх(cosbx − isinbx).

Данные решения являются комплексными. Чтобы получить из них действии­тельные решения, воспользуемся свойствами решений линейного однородного уравнения. Функции

являются действительными решениями уравнения (14). Кроме того, эти реше­ния линейно независимы Таким образом, можно сделать следующий вывод.

Правило 1. Паре сопряженных комплексных корней а ± ib характерис­ти­ческого уравнения в ФСР линейного однородного уравнения (14) соответ­ст­вует два действительных частных решения

П р и м е р 8. Найти общее решение уравнения:

а) у′′(х) − 2у′(х) + 5у(х) = 0;

б) у′′′(х) − у′′(х) + 4у′(х) − 4у(х) = 0.

Решение. В случае уравнения (а) корнями характеристического уравне­ния k² − 2k + 5 = 0 являются два сопряженных комплексных числа

^k_{1, 2} ⁼

Следовательно, им, согласно правилу 1, соответствует два действительных линейно независимых решения: а общим решением уравнения является функция

 (х) = С₁ е^хcos2x + С₂ е^хsin2x.

В случае (б), чтобы найти корни характеристического уравнения k³ − k² + 4k − 4 = 0, разложим на множители его левую часть:

k²(k − 1) + 4(k − 1) = 0 ⇒ (k − 1)(k² + 4) = 0 ⇒ (k − 1) = 0, (k² + 4) = 0.

Следовательно, имеем три характеристических корня: k₁ = 1, k_{2, 3} = ± 2i. Корню k₁ соответствует решение , а паре сопряженных комплекс­ных корней k_{2, 3} = ± 2i = 0 ± 2i − два действительных решения:

и .

Составляем общее решение уравнения:

 (х) = С₁ е^х + С₂ cos2x + С₃ sin2x.

III. Cреди корней характеристического уравнения есть кратные.

Пусть k₁ − действительный корень кратности m характеристического уравнения (15), т. е. среди корней есть m равных корней. Каждому из них соответствует одно и то же решение дифференциального уравнения (14) . Однако включить m равных решений в ФСР нельзя, так как они составляют линейно зависимую систему функций. Можно показать, что в слу­чае кратного корня k₁ решениями уравнения (14), кроме функции являются функции

Функции ₁(х), ₂(х), …, _m(х) линейно независимы на всей числовой оси, т.к.

,

т. е. их можно включить в ФСР.

Правило 2. Действительному характеристическому корню k₁ кратнос­ти m в ФСР соответствует m решений:

Если k₁ − комплексный корень кратности m характеристического уравне­ния (15), то существует сопряженный ему корень кратности m. По аналогии получаем следующее правило.

Правило 3. Паре сопряженных комплексных корней a ± ib в ФСР соот­ветствует 2m действительных линейно независимых решений:

П р и м е р 9. Найти общее решение уравнения:

а) у′′′(х) + 3у′′(х) + 3у′(х) + у(х)= 0;

б) у^IV(х) + 6у′′ (х) + 9у(х) = 0.

Решение. В случае (а) характеристическое уравнение имеет вид

k³ + 3k² + 3k + 1 = 0

или

(k + 1)³ = 0,

т. е. k = −1 − корень кратности 3. На основании правила 2 записываем общее решение:

(х) = С1 + С2 e^−x + С3 x² e^−x.

Характеристическим уравнением в случае (б) является уравнение

k⁴ + 6k² + 9 = 0

или, иначе,

Имеем пару сопряженных комплексных корней, каждый из которых кратности 2. Согласно правилу 3 общее решение записывается в виде

 (х) = С₁cos x+ С₂xcos x+ С₃sin x+ С₄xsin x.

Из сказанного выше следует, что для любого линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами можно найти фундаментальную систему решений и составить общее решение. Следовательно, решение соот­ветствующего неоднородного уравнения при любой непрерывной функции f(x) в правой части можно найти, используя метод вариации произвольных постоянных.

Пример 10. Методом вариации найти общее решение неоднородного уравнения у′′(х) − у′(х) − 6у(х) = x e^2x.

Решение. Сначала найдем общее решение соответствующего однород­ного уравнения у′′(х) − у′(х) − 6у(х) = 0. Корнями характеристического урав­нения k² − k − 6 = 0 являются k₁ = 3, k₂ = −2, а общим решением однородного уравнения − функция = С₁ е ^3х + С₂ е^−2х.

Будем искать решение неоднородного уравнения в виде

у(х) = С1(х)е^3х + С2(х)е^−2х. (*)

Найдем определитель Вронского

^{W[е3х, е−2х] =}

Составим систему уравнений (12) относительно производных неизвестных функций С′₁(х) и С′₂(х):

Решая систему по формулам Крамера, получим

Интегрируя, найдем С₁(х) и С₂(х):

Подставляя функции С₁(х) и С₂(х) в равенство (*), получим общее решение уравнения у′′(х) − у′(х) − 6у(х) = x e^2x: