3.3. Структура общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения

Рассмотрим, как связаны между собой решения линейного неоднород­ного уравнения (3) и соответствующего однородного уравнения (4).

Пусть функции ₁(х) и ₂(х)− решения неоднородного уравнения (3), а φ(х) − решение соответствующего однородного уравнения (4), т. е.

Ln[₁(х)] = f(x), Ln[₂(х)] = f(x), Ln[φ(х)] = 0.

Тогда

Ln[₁(х)−₂(х)] = 0, Ln[₁(х) + φ(х)] = f(x).

Последние равенства означают:

- разность любых двух решений линейного неоднородного уравнения (3) является решением соответствующего однородного уравнения (4);

- сумма решения линейного неоднородного уравнения (3) и решения соответствующего однородного уравнения (4) является решением неодно­родного уравнения.

После этих замечаний достаточно очевидной становится следующая теорема.

Теорема 6 (структура общего решения линейного неоднородного диф­­ференциального уравнения). Общее решение линейного неоднородного диффе­ренциального уравнения (3) определяется формулой

(10)

где y*(x) − частное решение неоднородного, а − общее решение соот­ветст­вующего однородного уравнения.

Объединяя формулы (9) и (10), получаем: общее решение неоднородного уравнения имеет вид

y(x) = y*(x) + C₁y₁(x) + C₂y₂(x) + … + C_ny_n(x),

где y*(x) − частное решение неоднородного уравнения; y₁(х), y₂(х), ..., y_n(х) − фун­даментальная система решений соответствующего однородного уравне­ния; С₁, С₂, ..., С_n − произвольные константы.

Рассмотрим метод нахождения решения линейного неоднородного урав­нения, если известно общее решение соответствующего однородного уравне­ния, − метод вариации произвольных постоянных.

Основная идея этого метода заключается в том, что решение неоднород­ного уравнения ищется в том же виде, что и общее решение (9) соответствую­щего однородного уравнения, но при этом константы С_i заменяются на функ­ции С_i(х), т. е.

y(x) = y*(x) + C₁(x)y₁(x) + C₂(x)y₂(x) + … + C_n(x)y_n(x), (11)

Для отыскания n неизвестных функций С_i(х) нужно иметь n условий урав­нений), причем (n − 1) условие можно выбирать достаточно произвольно, а последнее условие определяется тем, что функция должна удовлетворять уравнению (3).

Чтобы подставить функцию в уравнение (3), нужно найти последовательно производные до порядка n, вклю­чительно. При вычис­лении первой производной от для простоты полагаем, что и далее:

C учетом этих равенств подстановка функции и ее произ­водных в левую часть уравнения (3) дает

Но каждая из функций у_i(x) является решением однородного уравнения (4), зна­чит L_n[ у_i (х)] = 0, и последнее условие принимает вид

Объединяя все n условий, получаем систему уравнений относительно неиз­вестных функций C′_i(x):

⁽¹²⁾

Определитель Δ системы (12) является определителем Вронского W[x] для ФСР однородного уравнения, следовательно, он не равен нулю. Таким образом, система (по теореме Крамера) имеет единственное решение, которое задается формулами

,

где Δ = W[x], а Δ_i получается из определителя Вронского W [x] заменой i-го столбца на столбец свободных членов системы (12). При этом функции C′_i(x) непрерывны, поэтому, интегрируя их, получаем

(13)

Подставляя функции, найденные по формулам (13), в формулу (11), получим общее решение неоднородного уравнения (3).

Пример 6. Найти общее решение линейного неоднородного уравнения у′′(х)+ у(х) = сos2x.

Решение. В примере 4 было найдено общее решение соответствующего однородного уравнения у′′(х) + у(х) = 0. Применим метод вариации произволь­ных постоянных для нахождения решения неоднородного уравнения. Будем искать его в виде

у(х) = С1(х)sinx + C2(х)cosx.

Определитель Вронского

^{W[sinx, cosx] =}

поэтому система (12) для нашего случая имеет вид

Так как

Интегрируя, найдем

Подставим найденные значения функций С₁(х) и С₂(х) в формулу (11) и полу­чим общее решение неоднородного уравнения:

у(х) = (sinx − 1/3sin³x + C₁)sinx + (1/3cos³x + C₂)cosx =

= sin²x − 1/3sin⁴x + 1/3cos⁴x + C₁sinx + C₂cosx.

Здесь

C₁sinx + C₂cosx − общее решение однородного уравнения;

у*(х) = sin²x − 1/3sin⁴x + 1/3cos⁴x − частное решение неоднородного урав­нения.