1.5. Уравнение Бернулли

Уравнением Бернулли называется дифференциальное уравнение первого порядка вида

y' + p(x)y = q(х) у ^m, (10)

где m  0 и m  1 (в противном случае получилось бы линейное уравнение). Как и линейное, уравнение Бернулли можно проинтегрировать с помощью подстановки у = и(х)v(x) или свести к линейному уравнению с помощью подстановки z = y^1-m. Разделив обе части уравнения на у^m, получим

y ^-m y' + p(x) y^1-m = q(х) (10' )

Сделаем далее замену: z = y^1-m. Тогда

Подставив z и dz / dx в уравнение (10′), будем иметь линейное уравнение

Решая это уравнение и переходя от z снова к у, получим решение исходного уравнения.

Пример. Решить уравнение .

Решение. Разделив все члены уравнения на , получим

^(*)

Введем новую функцию y = , тогда

Подставив эти значения в уравнение (*), получим линейное уравнение

^(**)

Найдем его общий интеграл:

Для определения v получим уравнение

Интегрируя, найдем

Следовательно, решением уравнения (**) будет функция а исходного −

1.6. Уравнение в полных дифференциалах

Дифференциальное уравнение первого поряд вида

(11)

называется уравнением в полных дифференциалах, елси его левая часть является полным дифференциалом некоторой функции u (x, y):

(12)

Для этого необходимо и достаточно, чтобы

⁽¹³⁾

Общий интеграл уравнения (11) определяется формулой u (x, y) = С, где С – произвольная константа. Функция u (x, y) может быть найдена следующим обра­зом. Так как

то из этого равенства и (12) следуют уравнения

Интегрируя равенство по x при фиксированном y, имеем

Дифференцируем найденное выражение по y и приравниваем к Q(x, y)

откуда

Таким образом

а искомый общий интеграл (11) имеет вид

3. Линейные дифференциальные уравнения

ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

3.1. Общие сведения. Понятие линейного дифференциального оператора

Определение 1. Дифференциальное уравнение порядка n вида

y⁽ⁿ⁾(х) + p₁(x) y^(n–1)(х) +… +p_n–1(x) y'(х) + p_n(x) y(х) = f(x), (1)

где коэффициенты уравнения p_i(x) (i = 1, 2, ..., n) и правая часть f(x) – заданные функции, а у(х) – неизвестная функция, называется линейным.

Линейное уравнение (1) называется однородным, если f(x) ≡ 0, и неодно­родным в противном случае.

Для линейного дифференциального уравнения (ЛДУ) вопрос о сущест­во­вании и единственности задачи Коши, легко решается на основании следующей теоремы Пикара.

Теорема 1. Если в линейном дифференциальном уравнении (1) все коэффициенты pi(x) (i = 1, 2, ..., n) и правая часть f(x) непрерывны в интервале (а, b), то при любом х₀ ∈ (a, b) существует единственное решение, удовлет­воряющее начальным условиям:

у(х₀) = у₀, у′(х₀) = у₀₁, ..., у^(n–1)(х₀) = у_0(n–1). (2)

Обозначим левую часть уравнения (1) через L_n[y(x)], тогда это уравне­ние можно записать в виде

L_n[y(x)] = f (x), (3)

а в случае однородного уравнения

L_n[y(x)] = 0. (4)

Это не просто сокращенная запись линейного дифференциального урав­не­ния (1): L_n[y(x)] называется линейным дифференциальным оператором (ЛДО) и задает однозначное соответствие между множеством n раз диффе­ренцируемых функций и множеством непрерывных функций в случае, если ЛДУ удовлетворяет теореме 1. Название «линейный» обусловлено тем, что Ln[y(x)] удовлетворяет двум свойствам:

1) Ln[y(x)+h(x)] = Ln[y(x)] + Ln[h(x)],

2) Ln[c y(x)] = c Ln[y(x)] (с − const).

Свойства вытекают из соответствующих правил дифференцирования функ­ций.

Из определения решения дифференциального уравнения и смысла ли­ней­ного оператора имеем: если функция у = φ (х) − решение неоднородного уравнения (3), то Ln[φ(x)] ≡ f(x), а если φ (х) − решение соответствующего однородного уравнения (4), то Ln[φ(x)] ≡ 0. Таким образом, результат действия ЛДО на функцию совпадает с правой частью соответствующего уравнения тогда и только тогда, когда эта функция является решением данного урав­нения.