Свойства функций, непрерывных на отрезке

Теорема 1. Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений

Теорема 2 Если функция непрерывна на отрезке, то она ограничена на этом отрезке.

Теорем 3 Если функция у = f(x) непрерывна на отрезке [а, в] и принимает на его концах неравные значения f(а) = А и f(в) = В, то на этом отрезке она принимает и все промежуточные значения между А и В.

Понятие производной

Пусть в промежутке [a;b] задана непрерывная функция и пусть - точка в этом промежутке.

1. Дадим значению аргумента приращение ; получим точку + , также принадлежащую этому промежутку. Найдем значения функции в точках и + .

2 . Составим приращение функции – приращение функции есть разность значений функции в конечной и начальной точках.

3. Находим отношение приращения функции к приращению аргумента

Е сли существует конечный предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, то он называется производной функции в точке :

Если этот предел существует, то существует и производная в данной точке , и функция называется дифференцируемой в данной точке. Функция называется дифференцируемой в промежутке, если она дифференцируема в каждой точке этого промежутка. Если функция дифференцируема в точке, то она и непрерывна в этой точке. Но из непрерывности функции в точке не следует дифференцируемость (существование производной) в точке. Поэтому при применении производной в конкретной задаче необходимо учитывать область определения, как самой функции, так и ее производной.

Геометрический смысл производной состоит в том, что значение производной функции в точке есть угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в данной точке.

Физический смысл производной функции в точке есть скорость изменения функции в данной точке.

Основные правила дифференцирования

Если С – константа, а и - дифференцируемые функции, то:

1. производная константы: ;

2. производная произведения константы на функцию: (постоянный множитель можно выносить за знак производной);

3. производная суммы (разности) функций: ;

4. производная произведения функций: ;

5. производная частного функций: ;

6. производная сложной функции: если , где , то .

Основные формулы дифференцирования

1. степенная функция

2. показательная функция: ; ;

3. л огарифмическая функция: ; ;

4. т ригонометрические функции

5. о братные тригонометрические

Правило дифференцирования сложных функций..

Производная сложной функции по основному аргументу равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по основному, то есть, если , а , то

При нахождении производных сложных функций необходимо определиться, в каком порядке будут дифференцироваться функции, из которых составлена данная сложная, а также в ее структуре (наличие сумм, произведений отношений выражений, составляющих функцию).