П редел функции Предел функции в точке о дносторонние пределы

В определении предела функции lim f(x) = А считается, что х стремится к х₀ любым способом: оставаясь мень­шим, чем х₀ (слева от х₀), большим, чем х₀ (справа от х₀), или колеблясь около точки х_0. Бывают случаи, когда способ при­ближения аргумента х к х₀ существен­но влияет на значение предела функции. Поэтому вводят понятия односторонних пределов.

Число А ₁ называется пределом функции у = f(x) слева в точке х₀, если для любого число ε > 0 существует число δ = δ(ε) > 0 такое, что при х € (х₀ —δ; х₀), выполняется неравенство |f(х) — A₁| < ε. Предел слева записывают так: lim f(x) = А₁ или коротко: f(хо — 0) = А₁ (см. рис. 111). х→х₀-0

Аналогично определяется предел функции справа, запишем его с по­мощью символов:

( |f(х) - А₂\ < ε) lim f(x) = А₂

х→х₀₊0

Пределы функции слева и справа называются односторонними пре­делами. Очевидно, если существует lim f(x) = А, то существуют и оба односторонних предела, причем А=А₁= А₂.

Основные теоремы о пределах

Формулировка и доказательство теорем для случаев, когда х→х₀ и х→∞, аналогичны. В приводимых теоремах будем считать, что пределы lim f(x), lim (x) существуют.

Теорема 1. Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов:

lim (f(x) ± (х)) = lim f(x) ± lim (x)

х→х₀ х→х₀ х→х₀

Следствие 1. Функция может иметь только один предел при х→х₀

Теорема 2. Предел произведения двух функций равен произведению их преде­лов:

lim (f(x )· (х)) = lim f(x)· lim (x)

х→х₀ х→х₀ х→х₀

Следствие 2. Постоянный множитель можно выносить за знак предела: lim с· f(x) = с·lim f(x). х→х₀ х→х₀

Следствие 3. Предел степени с натуральным показателем равен той же степени lim (f(x))ⁿ = (lim f(х))ⁿ.

х→х₀ х→х₀

В частности, lim xⁿ = xⁿ, n € N

х→х₀

Т еорема 3 Предел дроби равен пределу числителя, деленному на предел зна­менателя, если предел знаменателя не равен нулю: =

1 –Первый замечательный предел: Читается: предел от­ношения синуса к его аргументу равен единице, когда аргумент стремится к нулю

2 -Второй замечательный предел

Функция у = е^х называется экспоненциальной, употребляется также обозначение е ^х = ехр(x).

Непрерывность функции в точке.

Пусть функция у = f(x)определена в точке х₀ и некоторой окрестности этой точки. Функция у = f(x) называется непрерывной в точке х_0, если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке, lim f(x) = f(x₀) х→х₀

Теоремы о непрерывности функции

Теорема 1. Сумма, произведение и частное двух непрерывных функций есть функция непрерывная. (Для частного за исключением тех значений аргумента, в которых делитель равен нулю )

Теорема 2. Пусть функция u =  (x) непрерывна в точке х_0, функция y = f(u) непрерывна в точке u₀ =  (x₀). Тогда сложна функция f((x)), состоящая из непрерывных функций, непрерывна в точке х_0.

Теорема 3 Если функция у = f(x) непрерывна и строго монотонна на [а, в] оси Ox, то обратная ей функция у = (x)- непрерывна и монотонна на соответствующем отрезке [c, d] оси Оу.