Физические приложения двойных интегралов

1. Масса и статические моменты пластины

Предположим, что плоская пластина изготовлена из неоднородного материала и занимает область R в плоскости Oxy. Пусть плотность пластины в точке (x, y) в области R равна .

Тогда масса пластины выражается через двойной интеграл в виде

Статический момент пластины относительно оси Ox определяется формулой Аналогично находится статический момент пластины относительно оси Oy :

2. Моменты инерции пластины Момент инерции пластины относительно оси Ox выражается формулой

Аналогично вычисляется момент инерции пластины относительно оси Oy :

3. Заряд пластины

Предположим, что электрический заряд распределен по области R в плоскости Oxy и его плотность распределения задана функцией . Тогда полный заряд пластины Q определяется выражением 4. Среднее значение функции

Приведем также формулу для расчета среднего значения некоторой распределенной величины. Пусть f (x,y) является непрерывной функцией в замкнутой области R в плоскости Oxy. Среднее значение функции μ функции f (x,y) в области R определяется формулой

где − площадь области интегрирования R.

Функция двух переменных

Изучая физическое состояние какого-либо тела, приходится наблюдать изменение его свойств от точки к точке. Каждая точка тела задается тремя координатами: x, y, z. Поэтому, изучая, скажем, распределение плотности, заключаем, что плотность тела зависит от трех переменных: x, y, z. Если физическое состояние тела к тому же еще и меняется с течением времени t, то та же плотность будет зависеть уже от значений четырех переменных: x, y, z, t.

Определение: Функция двух переменных, имеет вид , где «икс» и «игрек» – независимые переменные. Геометрически функция двух переменных представляет собой некоторую поверхность в нашем трёхмерном пространстве. Геометрическим изображением (графиком) функции двух переменных z = f ( x, y ) является множество точек P ( x, y, z) в трехмерном пространстве Oxyz, координаты которых удовлетворяют уравнению z = f ( x, y ). Так, например, (рис. 1.1) графиком функции является верхняя половина сферы, а графиком функции, - нижняя половина сферы.

Определение: Функция трёх переменных имеет вид , при этом переменные называются независимыми переменными или аргументами, переменная называется зависимой переменной или функцией. Например: – функция трёх переменных. Функция трёх переменных подразумевает тот факт, что всё происходит в четырехмерном пространстве. График функции трёх переменных представляет собой так называемую гиперповерхность.

Для функции трёх переменных справедливы правила дифференцирования и таблица производных.

Частные производные. Пусть функция z=f(x,y) определена в некоторой окрестности точки М(x,y). Придадим переменной х произвольное приращение , оставляя значение переменной у неизменным. Тогда функция z=f(x,y) получит приращение , которое называется частным приращением функции по переменной х в точке М(x,y).

Аналогично определяется частное приращение функции по переменной у: .

Определение: Если существует предел ,то он называется частной производной функции z=f(x,y) в точке М по переменной х (по переменной у) и обозначается одним из следующих символов:

Частная производная функции двух переменных по переменной х представляет собой обыкновенную производную функции одной переменной х при фиксированном значении переменной у.

Частная производная функции двух переменных по переменной у представляет собой обыкновенную производную функции одной переменной у при фиксированном значении переменной х.

Пример 1. Найти частные производные функции

Решение: Найдем частную производную функции по переменной х, а переменную у в этом случае будем считать постоянной:

Найдем частную производную функции по переменной у, а переменную х в этом случае будем считать постоянной: .

Полный дифференциал функции. Пусть функция z=f(x,y) определена в некоторой окрестности точки М(x,y). Составим полное приращение функции в точке М:

Функция z=f(x,y) называется дифференцируемой в точке М(x,y), если ее полное приращение можно представить в виде , где и при , . Сумма первых двух слагаемых представляет собой главную часть приращения функции.

Главная часть приращения функции z=f(x,y), линейная относительно и , называется полным дифференциалом функции и обозначается dz: .

Для независимых переменных x и y полагают , . Выражения и называют частными дифференциалами функции.

Теорема (достаточное условие дифференцируемости): Если функция z=f(x,y) имеет в некоторой окрестности точки М(x,y) непрерывные частные производные и , то она дифференцируема в этой точке, причем ее полный дифференциал выражается формулой . (6)

Пример 7. Найти полный дифференциал функции . Решение: Найдем частные производные функции , .

Применение полного дифференциала функции к приближенным вычислениям

-Формула используется в вычислениях приближенного значения функции.

Пример . Дана функция и две точки А(2;1) и В(1,96;1,04). Требуется: