2.4 Интегрирование по частям

Пусть и – дифференцируемые функции. Известно, что дифференциал произведения вычисляется по формуле: . Проинтегрируем данное равенство . Используя свойства интеграла, будем иметь , отсюда . Данная формула называется формулой интегрирования по частям. Эта формула применяется чаще всего к интегрированию выражений, которые можно представить в виде произведения двух сомножителей и , причем за , принимают такой множитель, от которого можно найти интеграл.

Основные виды интегралов, которые берутся по частям: – многочлен степени .

I
II
III		В данных интегралах за можно принять любую функцию. Интегрируют два раза и приводят подобные интегралы.
IV

П ример. Интегрирование по частям. Найти интеграл . Решение. тогда ,

2.5 Интегралы от некоторых функций, содержащих квадратный трехчлен в знаменателе

К данному методу интегрирования относятся интегралы вида:

1. ; 2. ; 3. ; 4. .

1. Рассмотрим интеграл . Преобразуем квадратный трехчлен, выделив полный квадрат:

где .

Таким образом, интеграл принимает вид: .Сделаем подстановку , . Тогда получим . Это уже табличные интегралы (в таблице 19 и 20).

П ример. Найти интеграл . Решение.

, , .

П онятие определенного интеграла

Пусть на отрезке задана непрерывная функция .Разобьем отрезок произвольным образом на частей точками , , , …, , причем Длину частичного отрезка разбиения обозначим через , то есть . В каждом частичном отрезке произвольным образом выберем точку и найдем значение функции в каждой точке: , , …, , …, . Составим сумму

Данная сумма называется интегральной суммой для функции на отрезке . Пусть – длина наибольшего частичного отрезка: . Найдем предел интегральной суммы при : .

Определение 7. Если интегральная сумма имеет предел , который не зависит ни от способа разбиения отрезка на частичные отрезки, ни от выбора точек в них, то этот предел называют определенным интегралом от функции на отрезке и обозначают . Таким образом, ,

где – нижний предел интегрирования, – верхний предел интегрирования, – подынтегральная функция,

– подынтегральное выражение, – переменная интегрирования, – отрезок интегрирования.

Теорема Коши. Если функция непрерывна на отрезке , то определенный интеграл существует.

3.2 Геометрический смысл определенного интеграла

О пределение . Фигура, ограниченная сверху графиком неотрицательной функции , снизу осью , справа и слева – прямыми и , называется криволинейной трапецией.

Эта сумма будет приближенно равна площади криволинейной трапеции, . Если увеличить число разбиений, то при этом уменьшится длина частичного отрезка , при этом будет более точно определять площадь трапеции. Поэтому за точное значение площади криволинейной трапеции принимают предел при :

, то есть .

Итак, определенный интеграл от неотрицательной функции численно равен площади криволинейной трапеции.