Лабораторная работа № 4 Исследование переходных процессов в звеньях второго порядка
Цель работы: исследовать переходные процессы в звеньях второго порядка (апериодическом, колебательном и консервативном).
Общие положения
Звенья 2-го порядка описываются в динамике дифференциальными уравнениями 2-го порядка.
.
.
Характеристическое уравнение звена второго порядка:
.
В зависимости от
соотношения коэффициентов характеристического
уравнения, корни могут быть действительными,
такое звено называется апериодическим
звеном 2-го порядка; если корни комплексные,
то звено называется колебательным; при
звено называется консервативным.
Рассмотрим колебательное звено, описываемое следующим дифференциальным уравнением:
и, соответственно, имеющим передаточную функцию:
,
где
– постоянная времени;
– резонансная
частота;
– коэффициент
демпфирования, степень затухания;
– передаточный
коэффициент.
Запишем характеристическое уравнение:
или
.
тогда корни его:
,
где
– коэффициент затухания колебаний.
– собственная частота колебаний звена.
– период резонансных колебаний.
Если
,
то корни уравнения вещественные
отрицательные и переходный процесс
будет монотонным (рисунок 4.1 (1)) и
определяется выражением:
,
где
и
– постоянные интегрирования, определяемые
по начальным условиям. Т.е. звено является
апериодическим 2-го порядка.
При
–
корни комплексные и, если
,
то переходный процесс представляет
собой затухающие колебания (рисунок
4.2). Именно такое звено называется
устойчивым колебательным.
Уравнение переходной характеристики имеет вид:
При
– получаем мнимые корни
.
Переходный процесс такого звена – незатухающие колебания с частотой и звено называю консервативным (рисунок 4.4).
Если
,
то вещественная часть корней
характеристического уравнения становится
положительной, а значит, звено будет
неустойчиво, а вид переходного процесса
опять будет определяться выражением .
При действительных корнях – переходный
процесс также будет представлять сумму
экспонент, уходящих в ∞ при
(рисунок 4.1 (2)).
При комплексных корнях с положительной вещественной частью получим расходящиеся колебания – неустойчивое колебательное звено (рисунок 4.3).
Рисунок 4.1 – Монотонный переходный процесс (1 – устойчивый; 2 – неустойчивый)
Рисунок 4.2 – Колебательный затухающий переходный процесс
Рисунок 4.3 – Колебательный расходящийся переходный процесс
Рисунок 4.4 – Колебательный незатухающий переходный процесс
Вид переходной
характеристики h(t) зависит от коэффициента
ξ. Следует помнить, что колебания
возникают лишь в том случае, если корни
характеристического уравнения являются
комплексными величинами, т.е. если
или
.
Для устойчивого
колебательного звена 0<ξ<1 и амплитуда
колебаний затухает по экспоненте – по
уравнению
.
Для неустойчивого колебательного звена ξ<0, амплитуда колебаний с течением времени возрастает по уравнению.
Если корни характеристического уравнения действительные отрицательные, то звено является апериодическим 2-го порядка (т.е. при ξ>1) и может быть представлено в виде последовательного соединения двух апериодических звеньев с постоянными времени и .
Оно описывается дифференциальным уравнением:
и передаточной функцией:
.
Порядок выполнения лабораторной работы
Исследование апериодического звена второго порядка
Для реализации апериодического звена второго порядка необходимо соединить последовательно два апериодических звена первого порядка (рисунок 4.5).
Используя
правила преобразования структурных
схем, записать выражения для передаточной
функции
по данной структуре (в виде
).
Записать выражения для постоянных
времени
и
и коэффициента усиления
.
Рисунок 4.5 – Структура апериодического звена второго порядка
1. Собрать в программе VisSim схему, представленную на рисунке 4.5.
2. Исследовать
влияние коэффициентов на переходный
процесс. Для одного из графиков определить
время достижения максимума
.
3. Исследовать
влияние на переходной процесс начальных
условий по скорости изменения выходной
величины
(первый интегратор) и выходной величине
(второй интегратор). Получить графики
при различных начальных условиях и
постоянных коэффициентах.
4. Изменить знак обратной связи для первого и второго звена. Объяснить изменение характеристик.
Исследование колебательного звена
Колебательное звено получается последовательным соединением апериодического звена и интегратора и охватыванием их обратной связью (рисунок 4.6).
Используя
правила преобразования структурных
схем, записать выражения для передаточной
функции
по данной структуре (в виде
).
Записать выражения для постоянной
времени
,
коэффициента усиления
и степени затухания
.
Определить, при каких соотношениях
коэффициентов в системе переходной
процесс будет иметь колебательный
характер.
Рисунок 4.6 – Структура звена второго порядка
1. Собрать в программе VisSim схему, представленную на рисунке 4.6.
2. Исследовать влияние коэффициентов на переходный процесс. Задавая различные коэффициенты, получить апериодический и колебательный переходной процесс.
Для колебательного переходного процесса:
3. Изменяя значения
коэффициентов, получить колебательные
процессы с различной амплитудой, частотой
и длительностью переходного процесса.
По одному из графиков определить время
достижения первого максимума
,
период колебаний
,
коэффициент затухания
.
4. Исследовать влияние на переходной процесс начальных условий по скорости изменения выходной величины (первый интегратор) и выходной величине (второй интегратор). Получить графики при различных начальных условиях и постоянных коэффициентах.
5. Изменить знак обратной связи на «плюс». Объяснить изменение характеристик.
Исследование консервативного звена
Для реализации консервативного звена необходимо охватить два интегратора обратной связью (рисунок 4.7).
Рисунок 4.7 – Структура консервативного звена
Используя
правила преобразования структурных
схем, записать выражения для передаточной
функции
по данной структуре (в виде
).
Записать выражения для постоянной
времени
,
коэффициента усиления
.
1. Собрать в программе VisSim схему, представленную на рисунке 4.3.
2. Исследовать влияние коэффициентов на переходный процесс. Для одного из графиков измерить амплитуду и период колебаний.
3. Исследовать влияние на переходной процесс начальных условий по скорости изменения выходной величины (первый интегратор) и выходной величине (второй интегратор). Получить графики при различных начальных условиях и постоянных коэффициентах.
4. Изменить знак обратной связи. Объяснить изменение характеристик.
Содержание отчёта
1. Схемы исследования и результаты исследования.
2. Передаточные функции звеньев, выражения для и .
3. Передаточные функции звеньев, характеристические уравнения, корни уравнений, , , , .
Контрольные вопросы
1. От чего зависят свойства звена 2-го порядка?
2. Является ли консервативное звено устойчивым?
3. Какой максимальный фазовый сдвиг у звена 2-го порядка?
4. Как выглядят ЛАЧХ для разных типов звеньев 2-го порядка?