Лабораторная работа № 2 Исследование переходных процессов типовых динамических звеньев первого порядка (интегрируещего и апериодического первого порядка)
Цель работы: исследовать переходные процессы идеально-интегрирующего и апериодического первого порядка звеньев.
Общие положения
Анализ САУ удобно вести по эквивалентным структурным схемам, которые представляют собой соединение типовых динамических звеньев, имеющих определенную передаточную функцию. Передаточная функция представляет собой отношение изображений Лапласа выходного и входного сигналов элемента (системы) при нулевых начальных условиях. Зная правила преобразования структурных схем, определяют эквивалентную передаточную функцию системы и уравнение динамики системы. При исследовании динамических звеньев и системы используют регулярные сигналы:
– единичное
ступенчатое воздействие;
– единичный
импульс;
– линейно нарастающий
сигнал;
– сигнал с постоянным ускорением;
– синусоидальный
сигнал.
Как системы, так и звенья могут быть устойчивыми (статическими), нейтральными (астатическими) и неустойчивыми. Под устойчивостью понимают способность САУ или звена возвращаться в исходное состояние равновесия после приложения и снятия воздействия.
Под типовым динамическим звеном в ТАУ понимается часть САУ, описываемая в динамике алгебраическим или дифференциальным уравнением не выше 2-го порядка. Вид уравнения и определяет название звена. При подаче на вход типового звена регулярных сигналов можно определить его реакцию на данный вид сигнала.
Реакция на единичный ступенчатый сигнал 1(t) называется переходной характеристикой h(t); реакция на δ(t) – функция веса или импульсная переходная характеристика ω(t).
ω(t)=h'(t), т.к. δ(t)=1(t)'.
h(t) и ω(t) являются временными характеристиками звена.
При подаче на вход
звена гармонического сигнала
или
,
на его выходе после завершения переходного
процесса также наблюдаются колебания.
Частотные свойства звена определяются комплексным коэффициентом передачи:
,
(1)
который представляет собой отношение комплексных амплитуд сигналов на выходе и на входе при подаче на вход гармонического сигнала. При изменении частоты входного сигнала от 0 до ∞ можно исследовать спектр входного и выходного сигналов, т.е. получить АФЧХ – амплитудно-фазовую частотную характеристику – траекторию движения конца вектора комплексного коэффициента передачи W(jω), при изменении частоты от 0 до ∞. АФЧХ отражает соотношение амплитуд и фаз сигналов на выходе и входе.
При нулевых начальных условиях уравнение звена в изображениях записывается в виде:
,
(2)
где Y(p), X(p) – изображение по Лапласу выходной и входной величин;
– комплексная
переменная (оператор Лапласа).
Запишем передаточную функцию, соответствующую уравнению (2):
, (3)
где
– входной полином;
– выходной полином.
Обычно принято
все члены уравнения динамики (2) делить
на свободный член – коэффициент
,
тогда уравнение записывают таким
образом:
, (4)
где
– коэффициент усиления, размерность
которого зависит от Y
и X;
,
,
,
– постоянные коэффициенты, обычно
имеющие размерность времени;
,
,
,
.
Линейные динамические звенья принято классифицировать по виду уравнения динамики: на простейшие (безинерционное, идеально-дифференцирующее, идеально-интегрирующее), звенья 1-го и звенья 2-го порядка.
Реакция звена на входной сигнал произвольной формы может быть определена по известной передаточной функции его через обратное преобразование Лапласа:
или решая дифференциальное уравнение при известных начальных условиях и входном сигнале. Если входной сигнал 1(t), т.е.
.
то определяется переходная функция типовых звеньев h(t):
где ,
– полиномы входной и выходной.
Она находится по таблицам, либо по теореме разложения Хэвисайда:
, (5)
где
– k-тый корень полинома знаменателя
;
n – число корней (степень полинома );
.
Изображение по Лапласу гармонических сигналов:
;
.
Таким образом, через обратное преобразование Лапласа может быть определена реакция на любой входной сигнал.
Звенья 1-го и 2-го порядков можно сформировать на основе блока «интегратор» (идеально-интегрирующего звена), вводя обратные связи.
Поэтому при исследовании переходных процессов типовых звеньев необходимо хорошо представлять реакцию идеально-интегрирующего звена на различные типы воздействий.
Уравнение динамики интегрирующего звена выглядит следующим образом:
или 
,
.
Передаточная функция интегрирующего звена и комплексный коэффициент передачи записываются:
и
,
.
В соответствии с
уравнением (5) переходная характеристика
– прямая линия с угловым коэффициентом,
зависящим от
(рисунок 2.1).
,
,
.
Скорость изменения выходной величины такого звена пропорциональна входной величине.
Рисунок 2.1 – Переходная характеристика идеально интегрирующего звена
Передаточная функция апериодического звена:
.
Уравнение переходной
характеристики:
.
Рисунок 2.2 – Переходная характеристика апериодического звена 1-го порядка
Порядок выполнения лабораторной работы
Исследование интегрирующего звена
1. Собрать в программе VisSim схему, представленную на рисунке 2.3.
Используя правила
преобразования структурных схем,
записать передаточную функцию для
данной структуры, характеристическое
уравнение, корни уравнения,
,
.
Рисунок 2.3 – Структура интегрирующего звена
2. Задавая различные
значения
,
построить несколько переходных
характеристик. Определить графически
по всем полученным характеристикам
значения постоянной времени интегрирующего
звена
.
3. Исследовать влияние на переходной процесс начальных условий. Получить графики при различных начальных условиях. Начальные условия выбирать в интервале от -1 до 1.
4. Подать на вход
системы гармонический сигнал. Получить
графики для различных значений частот
(от 0,1 рад/с до 100 рад/с, соседние значения
частот должны отличаться примерно в 10
раз). Объяснить изменение характеристик
при изменении частоты. Записать
аналитическое выражение
и
.
Исследование апериодического звена
1. Собрать в программе VisSim схему, представленную на рисунках 2.4.
Используя правила преобразования структурных схем, записать передаточную функцию для данных структур, характеристическое уравнение, , .
а б
Рисунок 2.4 – Структуры апериодического звена первого порядка
2. Изменяя коэффициенты в схемах, исследовать их влияние на переходной процесс.
3. Исследовать влияние на график начальных условий. При выборе начальных условий учитывать рекомендации п.3 для интегрирующего звена.
4. Реализовать
передаточную функцию апериодического
звена
с помощью блока transferFunction.
Значения К и Т, соответствующие номеру
варианта, взять из таблицы.
Таблица 2.1 – Значения К и Т
№ варианта |
К |
Т |
1 |
5 |
1 |
2 |
2 |
0,1 |
3 |
3 |
1,5 |
4 |
10 |
1 |
5 |
7 |
0,5 |
6 |
4 |
0,2 |
7 |
5 |
2 |
8 |
2,5 |
0,8 |
9 |
6 |
0,25 |
Рассчитать, какие
должны быть значения коэффициентов
и
в схемах на рисунке 2.4, чтобы получить
звено
с заданными по вариантам К и Т. Проверить
результаты расчетов построением графиков
для схем рисунка 2.4 (а,б) и для схемы с
использованием блока transferFunction.
Содержание отчёта
1. Схемы исследования и результаты исследования, выводы о влиянии значений коэффициентов, начальных условий на переходной процесс.
2. Передаточные
функции звеньев, выражения для
и
.
3. Характеристические
уравнения, корни уравнений,
,
,
,
.
Контрольные вопросы
1. Что такое типовое звено?
2. Что такое передаточная функция, переходная характеристика, импульсная переходная характеристика?
3. Как записать уравнение динамики через передаточную функцию звена?
4. Что такое устойчивость, как определить по виду переходного процесса, устойчиво ли звено?
5. Передаточные функции идеально-интегрирующего и апериодического звеньев?