3.3.1 Построение фазовых траекторий релейных систем. Метод сшивания решений.
Для релейных систем фазовую плоскость можно разбить на ряд областей, в каждой из которых есть свое уравнение фазовой траектории. Т.о. можно строить фазовые траектории по кускам (участкам) для каждой области, сшивая эти решения на линии переключения. Линии переключения соответствуют точкам излома статической характеристики НЭ. Для каждой области будет свое уравнение фазовой траектории, смена уравнений происходит на линии переключения.
Рассмотрим нелинейную систему:
Для построения фазовой траектории необходимо написать уравнение для сигнала на входе нелинейного элемента. Запишем разомкнутую передаточную функцию системы:
Составим характеристическое уравнение системы:
Это уравнение используется для расчета фазовой траектории.
Рассмотрим построение фазовой траектории на примере релейного элемента усилителя с ограничением. Его статическая характеристика:
– коэффициент
усиления линейного участка.
Поскольку характеристика релейного элемента имеет 3 участка, фазовая плоскость также разбивается на 3 зоны.
Для получения
уравнения фазовой траектории для области
(I),
когда нелинейная функция равна
.
Запишем данное уравнение в виде системы дифференциальных уравнений (в форме Коши):
Исключим из данной системы уравнений время:
Проинтегрируем данное уравнение:
Это уравнение
фазовой траектории справедливо для
случая, когда
.
Для области (II),
когда
В результате в уравнении фазовой траектории изменяются знаки:
Для области (III),
когда
уравнение примет вид:
Т.о., есть 3 области, для каждой свое уравнение фазовой траектории. Постоянная интегрирования определяется по начальным условиям:
Для определения постоянной интегрирования используют уравнение первой области:
Определяем
постоянную интегрирования
и подставляем в исходное уравнение:
.
Дойдя до линии переключения, расчет по формуле приостанавливают, дальнейшие вычисления проводят по уравнению для области III.
Если сигнал на
входе нелинейного элемента больше
,
то нелинейный элемент (усилитель с
ограничением) работает в режиме
двухпозиционного реле. На выходе сигнал
будет менять знак. Если входной сигнал
меньше по модулю
,
то система работает как линейная.
Фазовая траектория для идеального двухпозиционного реле
Уравнение элемента:
Колебания в системе затухают до 0, система работает устойчиво.
Фазовая траектория для идеального трехпозиционного реле. Статическая характеристика:
Уравнение элемента:
Фазовая траектория скручивается, автоколебаний нет.
Фазовая траектория для двухпозиционное реле с гистерезисом. Статическая характеристика
Уравнение элемента:
При наличии зоны неоднозначности линия переключения на фазовой плоскости ломаная, а фазовые траектории сходятся к замкнутой траектории (предельному циклу), что свидетельствует о том, что установившемуся режиму автоколебаний соответствует устойчивое состояние системы (в ней всегда возникает устойчивый режим автоколебаний).
Фазовая траектория для трехпозиционного реле с гистерезисом. Статическая характеристика
Уравнение элемента:
