Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Нелинейные системы.doc
Скачиваний:
0
Добавлен:
01.07.2025
Размер:
879.1 Кб
Скачать

3.2 Критерий Абсолютной устойчивости нелинейных систем в.М. Попова, его применение.

Под абсолютной устойчивостью нелинейной системы понимают ее устойчивость при любых начальных условиях и любой форме нелинейности, принадлежащей Гурвицеву углу. Т.е. система будет абсолютно устойчивой, если она устойчива при любой нелинейной характеристике ψ(ε), укладывающейся в определённый, так называемый, Гурвицев угол.

Иногда вместо 0 ставят начальные условия.

- заданное число.

- проходит через начало координат.

На основании этого был сформулирован критерий абсолютной устойчивости В.М. Попова.

Метод Попова является частотным, основанный на следующем.

Система, описанная нелинейным уравнением в отклонениях:

– отклонение координаты от заданных значений.

Если в нём нелинейную функцию заменить на линейную зависимость:

;

где q – любое число, удовлетворяет неравенству , то если после замены нелинейной функции линейной зависимостью получим характеристическое уравнение, отвечающее требованию устойчивости, то и нелинейная система будет устойчива.

Если известна ЛАЧХ линейной части системы (линейная часть должна быть устойчива) и задано значение параметра , то для исследования устойчивости необходимо записать функцию Попова:

;

где q – постоянное число, характеризующее нелинейность.

Раскроем скобки, тогда:

Система будет абсолютно устойчивой, если можно подобрать такое вещественное число q, при котором в диапазоне частот (0;∞) будет выполняться условие:

; ;

Это уравнение можно привести к виду:

; ;

Если неравенство заменить равенством, то получим границу устойчивости. Граница устойчивости – линия проходящая через точку на действительной оси с абсциссой и угловым коэффициентом .

Этот критерий имеет удобную геометрическую трактовку.

Формулировка: НС будет абсолютно устойчивой, если в плоскости видоизменённой частотной характеристики линейной части системы , можно провести через точку с координатой любую наклонную прямую так, что бы видоизменённая линейная характеристика части системы лежала справа от этой прямой.

;

Абсолютно устойчива Абсолютно неустойчива

Если такую прямую провести не удаётся, то нет условия абсолютной устойчивости системы при рассмотренных параметрах.

3.3 Метод фазовой плоскости

Метод фазовой плоскости (ФП) используется для исследования динамики и устойчивости систем второго порядка как линейных, так нелинейных с любым типом нелинейного элемента.

Состояние любой системы -го порядка в конкретный момент времени может быть охарактеризовано значениями ее выходной координаты и ее производных в -мерном пространстве. Если в конкретный момент времени по осям координат отложить выходную переменную или ее отклонение и производные, то получится точка в пространстве, которую называют изображающей точкой. Это пространство называется фазовым. Если состояние системы меняется с течением времени, то изображающая точка перемещается в фазовом пространстве и траектория движения изображающей точки называется фазовой траекторией. Фазовые траектории в пространстве не пересекаются. Каждым начальным условиям соответствует своя фазовая траектория. Если система 2-го порядка, то фазовое пространство превращается в фазовую плоскость.

Фазовая траектория (ФТ) – движение изображающей точки на плоскости с координатами: ось Х – выходная координата системы, ось У – скорость изменения выходной координаты . Совокупность ФТ для различных начальных условий и особых точек (точек равновесия) называют фазовым портретом системы. Он дает возможность оценить поведение системы и устойчивость «в большом», «в малом» и в целом.

Уравнения ФТ получают из системы уравнений первого порядка, разрешенных относительно первых производных:

(*)

Интегрируя (*), получают уравнение ФТ:

Для устойчивой системы ФТ представляют собой закручивающиеся логарифмические спирали; если в системе возникают незатухающие колебания, то ФТ, соответствующая этому режиму, замкнута (предельный цикл); если колебания расходятся, то логарифмическая спираль раскручивается, если колебания затухают – логарифмическая спираль закручивается. Если система содержит нелинейные элементы (НЭ) с кусочно-линейными статическими характеристиками, то фазовая плоскость разбивается линиями переключения, проходящими через точки излома НЭ, на области с различными уравнениями ФТ, их смена проходит на линии переключения.

При исследовании свободного движения необходимо задать начальное положение изображающей точки ( ), при устойчивой системе ФТ стремится:

а) к началу координат ( ) или зоне нечувствительности (при наличии соответствующего НЭ);

б) предельному циклу – если возникает режим незатухающих автоколебаний.

При исследовании вынужденного движения начальное положение изображающей точки может быть любое, а ФТ заканчивается в точке с координатами , ; где – некоторое отклонение, обусловленное наличием зоны нечувствительности. При наличии незатухающих колебаний – ФТ – предельный цикл, смещенный на координату .