2. Задание № 2

Целью данного задания является корреляционно-регрессионный анализ зависимости производительности труда у от возраста работниц х₁ и стажа их работы по профессии x₂

Порядок выполнения работы:

1. Построить вспомогательную таблицу значений у, х₁, х₂, у², х₁², х₂², ух₁, ух₂, х₁х₂.

2. Рассчитать парные коэффициенты корреляции r_{yx1 ,} r_yx2, _rх1x2

3. Рассчитать коэффициент множественной корреляции R (по формуле 2.2).

4. Определить коэффициент множественной детерминации R² (по формуле 2.3).

5. Рассчитать параметры a₀; a₁; a₂ для построения уравнения регрессии.

6. Построить уравнение регрессии y_x =a₀ + a₁ x₁ + a₂x₂

7. Сделать выводы по работе

Таблица № 2.1 – Данные о среднем проценте выполнения плана, возрасте и стаже работы по профессии работниц

№ варианта	Задание
	Табельный номер работницы	Средний процент выполнения нормы выработки yx	Возраст, лет x1	Стаж работы по профессии, лет x2
3	17	108,5	26	12
	18	102,5	37	18
	19	106,0	27	24
	20	100,4	35	12
	21	105,5	40	19
	22	102,0	20	20
	23	102,0	32	3
	24	102,2	24	5
Всего		829,1	241	113

1. 1) Построим вспомогательную таблицу значений у, х₁, х₂, у², х₁², х₂², ух₁, ух₂, х₁х₂.

Таблица № 2.2 - Данные для расчета коэффициентов регрессии

y		x1	x2	y2	х12	x22	x1x2	yx1	yx2	уx1x2	x1x22
108,5	26		12	11772,25	676	144	312	2821	1302	33852	97344
102,5	37		18	10506,25	1369	324	666	3792,5	1845	68265	443556
106	27		24	11236	729	576	648	2862	2544	68688	419904
100,4	35		12	10080,16	1225	144	420	3514	1204,8	42168	176400
105,5	40		19	11130,25	1600	361	760	4220	2004,5	80180	577600
102	20		20	10404	400	400	400	2040	2040	40800	160000
102	32		3	10404	1024	9	96	3264	306	9792	9216
102,2	24		5	10444,84	576	25	120	2452,8	511	12264	14400
∑ 829,1	241		113	85977,75	7599	1983	3422	24966,3	11757,3	356009	1898420

2) Рассчитаем парные коэффициенты корреляции r_yx1, r_yx2, rх1x2 по формуле:

(2.1)

где п - количество данных, п = 8.

Значение этого коэффициента изменяется от -1 до +1. отрицательное значение коэффициента корреляции свидетельствует о том, что связь обратная, положительное - связь прямая.

Связь является тем более тесной и близкой к функциональной, чем ближе значение коэффициента к 1.

r_х1 = = = (возраст работниц)

r _х2 = = = = 0,3265 (стаж работы по профессии работниц)

r _x1x2 = = = 0,0031

Вывод: полученные коэффициенты находятся в пределах (-1; +1). Это значит, что между производительностью труда у и возрастом работниц х₁ (-0,0792) наблюдается связь (обратная (0>), линейная); между производительностью труда у и стажем работы по профессии работниц x_{2 (}0,3265) связь очень слабая - практически отсутствует (прямая (>0), линейная). Связь обоих этих факторов между собой незначительна (0,0031), ее можно охарактеризовать - прямая, линейная. Согласно произведенным расчетам на производительность труда наибольшее влияние оказывает стаж работы по профессии.

3) Рассчитаем коэффициент множественной корреляции по формуле:

(2.2)

где r - линейные (парные) коэффициенты корреляции.

Значение этого коэффициента может изменяться от 0 до 1.

R = = = 0,336

Видим, что связь между исследуемыми величинами тесная.

4) Рассчитаем коэффициент множественной детерминации R², который показывает, какая доля вариации изучаемого показателя обуславливается линейным влиянием учтенных факторов. Значения коэффициента находятся в переделах от 0 до 1. Чем ближе R² к 1, тем большим является влияние отобранных факторов на результирующий признак.

R² = 0,113

Вывод: рассчитанный коэффициент множественной детерминации показывает, что влияние на производительность труда у возраста работниц х₁ и стажа их работы по профессии x₂ незначительно.

5) Рассчитаем параметры a₀; a₁; a₂ для построения уравнения регрессии.

Зависимость среднего процента выполнения нормы выработки от возраста и стажа работы по профессии можно выразить формулой:

y_x =a₀ + a₁ x₁ + a₂x₂ (2.3)

где y_x - расчетные значения результирующего признака - средний процент нормы выработки;

x₁ и x₂ - факторные признаки:

х₁ - возраст, лет; х₂ - стаж работы по профессии, лет;

a₀; a₁; a₂ - параметры уравнения.

Для нахождения параметров уравнения a₀; a₁; a₂ строится система нормальных уравнений:

n a₀ + a₁ Σ x₁ + a₂ Σ x₂ = Σy

a₀ Σ x₁ + a₁ Σ x₁² + a₂ Σ x₁x₂ = Σyx₁ (2.4)

a₀ Σ x₂ + a₁ Σ x₁x₂ + a₂ Σ x₂² = Σyx₂

Из таблицы Σ x₁ = 241, Σ x₂ = 113, Σy = 829,1

Таблица № 2.3

х12	x1x2	yx1	x22	yx2
676	312	2821	144	1302
1369	666	3792,5	324	1845
729	648	2862	576	2544
1225	420	3514	144	1204,8
1600	760	4220	361	2004,5
400	400	2040	400	2040
1024	96	3264	9	306
576	120	2452,8	25	511
Σ x12=7599	Σ x1x2= 3422	Σyx1 = 24966,3	Σ x22= 1983	Σyx2= 11757,3

С истема уравнений принимает вид:

8а₀ + 241 а₁ + 113 а₂ = 829,1

241 а₀ + 7599 а₁ + 3422 а₂ = 24966,3

113 а₀ + 3422 а₁ + 1983 а₂ = 11757,3

Чтобы вычислить значения a₀; a₁; a₂ выполняем арифметические действия:

Сократим каждое уравнение на коэффициент при а₀;

а ₀ + 30,1250 а₁ + 14,1250 а₂ = 103,6375

а₀ + 31,5311 а₁ + 14,1992 а₂ = 103,5946

а₀ +30,2832 а₁ + 17,5487 а₂ =104,0469

Произведем вычитания

(2 уравнение - 1 уравнение) и

(3 уравнение - 2 уравнение).

В результате получим систему двух нормальных уравнений с неизвестными а₁ и а₂.

1,4061 а1 + 0,0742 а2 = -0,0429

-1,2479 а1 + 3,3495 а2 = 0,4523

При решении новой системы получим:

a₂ = 1,8693

a₁ = - 1,2282

a₀ = 121,6146

Уравнение примет вид:

У = 121,615 - 1,228 x₁ + 1,869 x₂

Коэффициенты регрессии дают ответ о том, как изменяется производительность труда при изменении возраста работниц на 1 год (a₁= - 1,228) и стажа их работы также на 1 год (a₂= 1,869).

При этом следует учитывать, что влияние данных факторов (возраста и стажа работы по профессии) на производительность труда невелико. Это говорит о том, что данная работа не является сложной.