Законы распределения вероятностей случайных величин

Существует бесчисленное множество разных распределений, но в технике применяются лишь некоторые из них.

Чаще всего применяют законы распределения вероятностей:

1. Равномерный;

2. Нормальный (закон Гаусса)–случайная величина определяется суммарным эффектом от действия большого числа различных независимых факторов;

3. Экспоненциальный и др.

Самое простое – это равномерное распределение. Например, снег в безветренную погоду ложится на плоскую поверхность равномерно – ровным слоем, который имеет одинаковую толщину во всех точках. Обычно предполагается, что ошибка квантования непрерывных сигналов в цифровом компьютере имеет равномерное распределение. Равномерное распределение на интервале описывается плотностью распределения

Самое важное распределение в практических задачах – нормальное распределение (распределение Гаусса), для которого график плотности распределения имеет форму колокола:

Здесь – среднее значение, а – среднеквадратическое отклонение случайной величины. Распределение Гаусса обладает несколькими замечательными свойствами:

1. сумма (и любая линейная комбинация) случайных величин с нормальными распределениями тоже имеет нормальное распределение;

2. если на величину действует множество независимых помех, ее плотность вероятности стремится к нормальному закону;

3. при прохождении случайного сигнала с нормальным распределением через линейную систему сигнал на выходе тоже имеет нормальное распределение.

Если нет никаких теоретических или экспериментальных данных о распределении случайной величины (например, шума измерений), чаще всего предполагают, что это распределение – нормальное.

В специальных задачах применяют и другие распределения. Например, установлено, что плотность распределения высот волн при морском волнении определяется законом Рэлея:

Например, так распределяются высоты волн при морском волнении.

Для моделирования случайных события в компьютерных моделях используют датчики псевдослучайных чисел (они похожи на случайные, но каждое следующее вычисляется по некоторой формуле, использующей предыдущие значения). Большинство датчиков «выдают» равномерно распределенные значения, из которых с помощью математических операций можно получить другие распределения.

Например, рассмотрим сумму нескольких независимых случайных значений, равномерно распределенных на симметричном интервале . Можно показать, что для суммы двух чисел получится треугольное распределение. Таким образом, складывая два случайных числа, полученных со стандартного датчика с равномерным распределением, мы получим числа с треугольным распределением. Для суммы трех чисел график состоит из кусочков парабол:

При увеличении график плотности распределения вероятностей становится всё больше похож на «колокол» нормального распределения. Доказано, что при больших распределение суммы чисел действительно стремится к нормальному (на практике часто берут ). Более того, это справедливо для суммы большого количества независимых случайных величин с любым распределением (не обязательно равномерным).

Случайные функции

Случайная функция–функция, значения которой при каждом данном значении независимой переменной являются случайной величиной.

Случайная функция–бесконечная совокупность случайных величин, зависящая от одной или нескольких независимо изменяющихся переменных.

Случайные (или СТОХАСТИЧЕСКИЕ) процессы–случайные функции, для которых независимой переменной является время t.

Реализация случайной функции–случайная функция, зарегистрированная в той или иной форме по результатам опыта.

Для любого фиксированного момента времени, например , реализация случайного процесса х(t_i) представляет собой конкретную величину; значение же случайной функции Х(t_i) является случайной величиной, называемой сечением случайного процесса в момент времени .

Для определения статистических свойств требуется одновременное наблюдение за несколькими одинаковыми объектами или (в случае ЭРГОДИЧЕСКОГО случайного процесса) длительное наблюдение за одним объектом.