13) Столкновение двух тел

Закон сохранения энергии позволяет решать механические задачи в тех случаях, когда почему-либо неизвестны действующие на тело хилы. Интересным примером именно такого случая является столкновение двух тел. Этот пример особенно интересен тем, что при его анализе нельзя обойтись одним только законом сохранения энергии. Нужно привлечь еще и закон сохранения импульса (количества движения). В обыденной жизни и в технике не так уж часто приходится иметь дело со столкновениями тел, но в физике атома и атомных частиц столкновения — очень частое явление. Для простоты мы сначала рассмотрим столкновение двух шаров массами m₁ и m₂, из которых второй покоится, а первый движется по направлению ко второму со скоростью v₁. Будем считать, что движение происходит вдоль линии, соединяющей центры обоих шаров (рис. 205), так что при столкновении шаров имеет место так называемый центральный, или лобовой, удар. Каковы скорости обоих шаров после столкновения? До столкновения кинетическая энергия второго шара равна нулю, а первого Сумма энергий обоих шаров составляет:

После столкновения первый шар станет двигаться с некоторой скоростью u₁. Второй шар, скорость которого была равна нулю, также получит какую-то скорость u₂. Поэтому после столкновения сумма кинетических энергий двух шаров станет равной

По закону сохранения энергии эта сумма должна быть равна энергии шаров до столкновения:

Из этого одного уравнения мы, конечно, не можем найти две неизвестные скорости: u₁ и u₂. Вот тут-то на помощь и приходит второй закон сохранения — закон сохранения импульса. До столкновения шаров импульс первого шара был равен m₁v₁, а импульс второго — нулю. Полный импульс двух шаров был равен:

После столкновения импульсы обоих шаров изменились и стали равными m₁u₁ и m₂u₂, а полный импульс стал

По закону сохранения импульса полный импульс при столкновении измениться не может. Поэтому мы должны написать:

Теперь мы имеем два уравнения:

Такую систему уравнений можно решить и найти неизвестные скорости u₁ и u₂ шаров после столкновения. Для этого перепишем ее следующим образом:

Разделив первое уравнение на второе, получим:

Решая теперь это уравнение совместно со вторым уравнением

(проделайте это самостоятельно), найдем, что первый шар после удара будет двигаться со скоростью

а второй — со скоростью

Если оба шара имеют одинаковые массы (m₁ = m₂), то u₁ = 0, а u₂ = v₁. Это значит, что первый шар, столкнувшись со вторым, передал ему свою скорость, а сам остановился (рис. 206). Таким образом, пользуясь законами сохранения энергии и импульса, можно, зная скорости тел до столкновения, определить их скорости после столкновения. А как обстояло дело во время самого столкновения в тот момент, когда центры шаров максимально сблизились? Очевидно, что в это время они двигались вместе с некоторой скоростью u. При одинаковых массах тел их общая масса равна 2m. По закону сохранения импульса во время совместного движения обоих шаров их импульс должен быть равен общему импульсу до столкновения:

Отсюда следует, что

Таким образом, скорость обоих шаров при их совместном движении равна половине скорости одного из них до столкновения. Найдем кинетическую энергию обоих шаров для этого момента:

А до столкновения общая энергия обоих шаров была равна

Следовательно, в самый момент столкновения шаров кинетическая энергия уменьшилась вдвое. Куда же пропала половина кинетической энергии? Не происходит ли здесь нарушения закона сохранения энергии? Энергия, конечно, и во время совместного движения шаров осталась прежней. Дело в том, что во время столкновения оба шара были деформированы и поэтому обладали потенциальной энергией упругого взаимодействия. Именно на величину этой потенциальной энергии и уменьшилась кинетическая энергия шаров.