Примеры решения задач

Пример 1. Заряды q₁ = 3 нКл и q₂= -5 нКл находятся на расстоянии r = 6 см друг от друга. Определить напряженность Е и потенциал φ в точке, находящейся на расстоянии a = 3 см от первого заряда и d = 4 см от второго заряда. Какой силой потребуется удержать в этой точке заряд q ₃ = 1 нКл?

Решение. Согласно принципу суперпозиции электрических полей, каждый заряд создает поле независимо от присутствия в пространстве других зарядов. Поэтому напряженность электрического поля в искомой точке может быть найдена как геометрическая сумма напряженностей и полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности: .

Напряженность электрического поля, создаваемого в воздухе (ε = 1) зарядом q₁, равна

зарядом q₂ -

Рис. 1.1

Вектор направлен по силовой линии от заряда, так как заряд q₁ положителен; вектор направлен также по силовой линии, но к заряду q₂ , так как заряд q₂ отрицателен.

Абсолютное значение вектора Е найдтся по теореме косинусов:

,

где α - угол между векторами и , который может быть найден из треугольника со сторонами r, a, d:

12

В данном случае во избежание громоздких записей удобно значение cos α вычислить отдельно:

≈ 046

Подставляя выражения и в и вынося общий множитель за знак корня, можно получить:

Силу F, которая потребуется, чтобы удержать заряд в точке В, находят по формуле

Потенциал  результирующего поля, создаваемого двумя зарядами q₁ и q₂ , равен алгебраической сумме потенциалов, т.е.

Потенциал электрического поля, создаваемого в вакууме точечным зарядом q на расстоянии r от него, выражается формулой

В данном случае выразится как:

Ответ:

Пример 2. Пластины плоского конденсатора, заряженные зарядом q = 15 нКл, притягиваются в воздухе с силой F = 600 мкН. Определить площадь пластин конденсатора.

Решение. Заряд q одной пластины находится в поле напряженностью Е₁ , созданном зарядом другой пластины конденсатора. Следовательно, на первый заряд действует сила

13

Так как

,

где σ - поверхностная плотность заряда пластины, то

.

Тогда

Ответ:

Пример 3. Заряд величиной 1 нКл переносится из бесконечности в точку, находящуюся на расстоянии 0,1 м от поверхности металлической сферы радиусом 0,1 м, заряженной с поверхностной плотностью . Определить работу перемещения заряда

Дано: .

Найти: A.

Решение. Потенциал поля , создаваемого заряженной сферой на расстоянии от ее центра, определяется по формуле:

,

где заряд сферы; электрическая постоянная.

Потенциал поля на расстоянии равен нулю: . Работа А по перемещению заряда q из бесконечности в точку поля равна:

Ответ:

Пример 4. Энергия плоского воздушного конденсатора 40 нДж, разность потенциалов на обкладках 600 В, площадь пластин 1 см². Определить расстояние между обкладками, напряженность и объемную плотность энергии поля конденсатора.

Дано: .

Найти:

Решение. Энергия конденсатора ; емкость конденсатора , следовательно, . Отсюда

14

.

Напряженность поля конденсатора

Объемная плотность энергии поля:

Ответ: ; ; .

Пример 5. Электрон, обладающий кинетической энергией Т₁ = 10 эВ, влетел в однородное электрическое поле с напряженностью Е = 10В/м в направлении поля и прошел в нем расстояние r = 50 см. Определить скорость электрона в конце указанного пути.

Решение. В соответствии с определением вектора напряженности электрического поля , на электрон, влетевший в направлении вектора напряженности поля, действует сила , направленная противоположно движению. Следо­вательно, электрон тормозится под действием этой силы. На пути движения электрона электрическое поле совершает работу А.

,

где е - заряд электрона; е = 1,6٠10^-19 Кл. U - разность потенциалов на пути движения.

Работа сил электрического поля, затраченная на изменение кинетической энергии электрона

,

где Т₁, Т₂ - кинетические энергии электрона до и после прохождения замедляющего поля.

Кинетическая энергия электрона в конце пути

,

где m_e - масса электрона; υ₂ - скорость электрона в конце пути.

Учитывая однородность электрического поля можно написать, что:

Воспользовавшись указанными формулами, можно получить:

Тогда скорость электрона в конце пути

15

Ответ:

Пример 6. На концах медного провода длиной l = 5м поддерживается напряжение U = 1 В. Определить плотность тока j в проводе.

Решение. По закону Ома в дифференциальной форме

Удельная проводимость γ определяется как

,

где ρ - удельное сопротивление меди

Напряженность электрического поля внутри проводника согласно формуле, связывающей разность потенциалов (напряжение) и напряженность в однородном электрическом поле выражается формулой

Используя вышеуказанные формулы:

Ответ:

Пример 7. Определить электрический заряд, прошедший через поперечное сечение провода сопротивлением R = 3 Ом при равномерном нарастании напряжения на концах провода от U₁ = 2 В до U₂ = 4 В в течение Δt = 20 с.

Решение. В соответствии с законом Ома переменное напряжение вызывает в проводнике переменный ток. По определению силы тока

,

отсюда

,

где dq - количество электрического заряда, прошедшего через поперечное сечение проводника за бесконечно малый промежуток времени dt, I - мгновенное значение силы переменного тока.

По закону Ома

,

16

где U - мгновенное значение напряжения.

При равномерном нарастании напряжения его мгновенное значение в момент времени t равно

,

где k - скорость нарастания напряжения, равная приращению напряжения за единицу времени. При равномерном нарастании

В/ с

Используя вышеуказанные формулы, можно вычислить

Заряд q, прошедший через поперечное сечение провода за конечный промежуток времени от t₁ от t₁ = 0 с, до t₂ = 20 с определяется как:

Подставляем значения k, t₂ и R:

Кл

Ответ: q=6,67 Кл

Пример 8. Сила тока в проводнике сопротивлением R = 20 Ом нарастает в течение времени Δt = 2с по линейному закону от I₀ = 0 до I = 6 А. Определить теплоту Q₁, выделившуюся в этом проводнике за первую и Q₂ - за вторую секунды, а также найти отношение .

Решение. По закону Джоуля-Ленца

15

Здесь сила тока является некоторой функцией времени:

,

где k - коэффициент пропорциональности, численно равный приращению силы тока в единицу времени. При линейном законе

A/ с

Тогда и

При определении теплоты, выделившейся за первую секунду, пределы интегрирования t₁ = 0, t₂ = 1 c и, следовательно,

Дж

17

При определении теплоты Q₂ пределы интегрирования t₁ = 1, t₂ = 2 c и

Дж.

Следовательно,

т.е. за вторую секунду выделится теплоты в 7 раз больше, чем за первую.

Пример 9. По проводу, согнутому в виде квадрата со стороной a = 10см течет ток силой I = 100A. Найти магнитную индукцию в точке пересечения диагоналей квадрата.

Решение. Квадратный виток расположен в плоскости чертежа.

Согласно принципу суперпозиции магнитных полей магнитная индукция поля квадратного витка будет равна геометрической сумме магнитных индукций полей, создаваемых каждой стороной квадрата в отдельности:

В точке О пересечения диагоналей квадрата все векторы индукции для указанного на рис. тока будут направлены перпен­дикулярно плоскости витка «к нам». Кроме того, из соображений симметрии следует, что абсо­лютные значения этих векторов одинаковы: . Это позволяет векторное равенство заменить скалярным равенством

Магнитная индукция В₁ поля, создаваемого отрезком прямолинейного провода с током, выражается формулой

Учитывая, что и , формулу можно переписать в виде

и учитывая, что В=4В₁

18

Здесь и (так как ), и тогда В.

Подставив в эту формулу числовые значения физических величин, для В получится значение:

Tл.

Пример 10. Электрон, пройдя ускоряющую разность потенциалов U = 400В, попал в однородное магнитное поле напряженностью H = 10³А/м. Определить радиус R кривизны траектории и частоту n обращения электрона в магнитном поле. Вектор скорости перпендикулярен линиям поля.

Решение. Радиус кривизны траектории электрона можно определить, исходя из следующих соображений: на движущийся в магнитном поле электрон действует сила Лоренца (действием силы тяжести можно пренебречь). Сила Лоренца перпендикулярна вектору скорости и, следовательно, сообщает электрону нормальное ускорение:

или

,

где е - заряд электрона, υ - скорость электрона, В- магнитная индукция, m - масса электрона,

R - радиус кривизны траектории, α - угол между направлением вектора скорости и вектором (в данном случае и α = 90°, sinα = 1)

Тогда для R находится формула:

Входящий в это равенство импульс mυ может быть выражен через кинетическую энергию Т электрона:

Но кинетическая энергия электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов U, определяется равенством

Подставив это выражение Т в выражение для получится выражение:

Магнитная индукция В может быть выражена через напряженность Н магнитного поля в вакууме

19

,

где μ₀ - магнитная постоянная.

Используя полученные выражения можно определить R в виде:

Здесь: m=9,11٠10^‑31 кг, e = 1,60٠10^-19 Кл, U = 400 В, μ₀ = 4π٠10^-7 Гн/м, Н = 10³ А/м.

м = 5,37см

Для определения частоты обращения n можно воспользоваться формулой, связывающей частоту со скоростью и радиусом:

С учетом получится:

c^-1

Ответ:

Пример 11. В однородном магнитном поле (В = 0,1 Тл) равномерно с частотой n = 10 об/с вращается рамка, содержащая N = 1000 витков, плотно прилегающих друг к другу. Площадь рамки S = 150см². Определить мгновенное значение Э.Д.С. индукции , соответствующее углу поворота рамки 30°.

Решение. Мгновенное значение Э.Д.С. индукции определяется основным уравнением электромагнитной индукции

При вращении рамки магнитный поток Ф, пронизывающий рамку в момент времени t, изменяется по закону

,

где В- магнитная индукция,

S - площадь рамки,

20

ω - круговая (циклическая) частота.

Продифференцировав по времени Ф, можно найти мгновенное значение Э.Д.С. индукции в виде:

Учитывая, что частота ω связана с частотой вращения n соотношением

,

получится как:

По условию задачи: n= 10 c^-1; N = 10³; B = 0,1 Tл; S = 1,5٠10^-2 м²; ωt = 30° = и, подставив их в можно найти:

В

Ответ:

Пример 12. Соленоид без сердечника имеет плотную однослойную намотку провода диаметром 0,2 мм и по нему течет ток 0,1 А. Длина соленоида 20 см, диаметр 5 см. Найти энергию и объемную плотность энергии магнитного поля соленоида.

Дано: .

Найти: .

Решение. Энергия магнитного поля соленоида , где индуктивность соленоида, ; магнитная постоянная; n – число витков на 1 м длины соленоида, при плотной намотке ; длина соленоида; площадь сечения соленоида. Тогда:

.

Объемная плотность энергии определяется по формуле:

Ответ: ; .

Пример 13. Конденсатору емкостью 40 мкФ сообщен заряд 0,3 мКл, после чего его замыкают на катушку с индуктивностью 0,1 Гн. Пренебрегая сопротивлением контура, найти законы изменения напряжения на конденса

21

торе и силы тока в цепи.

Дано: .

Найти: .

Решение. В отсутствие омического сопротивления свободные колебания в контуре описываются уравнением

(1)

где циклическая частота колебаний.

Решение уравнения (1) имеет вид

, (2)

где начальная фаза колебаний. Поскольку в начальный момент времени заряд конденсатора , то и, следовательно, .

Напряжение на конденсаторе

(3)

а сила тока в цепи

(4)

Числовые значения, получатся как:

Таким образом,

Ответ: .

22