Пояснения к работе

Математическое ожидание непрерывной случайной величины определяется по формуле:

.

Дисперсия непрерывной случайной величины определяется по формуле:

.

Свойства математического ожидания и дисперсии дискретных случайных величин справедливы и для непрерывных случайных величин.

Равномерное распределение.

Пример. Время ожидания автобуса (х) измеряется в минутах и распределено равномерно на отрезке [0, 30]. Определить среднее время ожидания автобуса и дисперсию.

Решение.

Функцией распределения двумерной случайной величины (X, Y) называют вероятность совместного выполнения двух неравенств:

F(x, y) = P{X<x, Y<y}.

Плотность распределения двумерной случайной величины вычисляется как вторая смешанная частная производная функции распределения:

f(x,y) = F_xy¢¢(x,y).

Выражение функции распределения через плотность:

Свойства плотности распределения.

1. Плотность распределения двумерного случайного вектора есть функция неотрицательная: f(x,y)³ 0.

2. Двойной интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения двумерного случайного вектора равен единице:

3. Плотности распределения компонент случайного вектора могут быть получены по формулам:

,

Закон распределения дискретного случайного вектора (X, Y) – это совокупность всех возможных значений случайного вектора (X, Y) и их вероятностей:

p_ij=P{X=x_i, Y=y_j}, где i=1, 2, …, n, j=1, 2, …, m.

n, m – число возможных значений случайных величин X и Y.

Так же, как и в непрерывном случае:

, , .

Пример 1. Качество продукции характеризуется двумя случайными величинами: X и Y. Закон распределения случайного вектора (X,Y) представлен в таблице:

yj xi	0	0,1	0,2	0,3	pi
5	0,2	0,1	0,05	0,05	0,4
6	0	0,15	0,15	0,1	0,4
7	0	0	0,1	0,1	0,2
pj	0,2	0,25	0,3	0,25

На пересечении i-той строки и j-того столбца таблицы находятся вероятности p_ij=P{X=x_i, Y=y_j}.

Найти закон распределения координат X и Y случайного вектора.

Решение. Вероятность события {X=x_i}=p_i, есть сумма вероятностей, находящихся в i-той строке. Вероятности p_i находятся в последнем столбце таблицы.

Ряд распределения случайной величины X имеет вид:

xi	5	6	7
pi	0,4	0,4	0,2

Ряд распределения Y находим, вычисляя суммы элементов столбцов таблицы. Эти вероятности p_j находятся в последней строке таблицы.

Ряд распределения случайной величины Y имеет вид:

yj	0	0,1	0,2	0,3
pj	0,2	0,25	0,3	0,25

Условное распределение компонент дискретного случайного вектора (X, Y) – это ряд распределения одной случайной величины, вычисленной при условии, что другая случайная величина приняла определённое значение, а именно:

;

Пример 2. В условиях закон распределения дискретного случайного вектора (X,Y) из примера 1, найти условное распределение случайной величины X при условии, что случайная величина Y приняла значение y₂=0,1.

Решение. Выбрав значения p_i2 из столбца таблицы, соответствующего значению y₂=0,1, и разделив их на 0,25, получаем следующее условное распределение X при условии, что Y=0,1:

xi	5	6
pX(xi|y2)	0,4	0,6

Пример 3. Непрерывная случайная величина задана функцией распределения

Н айти функцию плотности и числовые характеристики , , . Вычислить вероятности попадания случайной величины в интервалы (1; 2,5), (2,5; 3,5).

Решение. Найдем плотность распределения

Найдем математическое ожидание

.

Найдем дисперсию и среднее квадратическое отклонение

.

Используя формулу ,

найдем вероятности попадания в заданные интервалы

,

.

ЗАДАНИЯ