Практическое занятие № 8

Тема: Решение задач на формулу геометрического определения вероятности (для одномерного случая, для двумерного случая, для простейших функций от независимых равномерно распределенных величин).

Цель занятия: научится вычислять вероятности для простейших функций от двух независимых равномерно распределенных величин X и Y методом перехода к точке M(X;Y) в соответствующем прямоугольнике.

Студент должен знать определение формулу функции плотности для равномерно распределённой НСВ; определение и свойства интегральной функции распределения НСВ. Уметь вести расчет вероятностей для НСВ по её функции плотности и интегральной функции распределения.

Пояснения к работе

Если в ходе эксперимента все значения случайной величины оказываются на некотором участке числовой оси и принимают в нем любые значения, то мы имеем дело с непрерывной случайной величиной.

Непрерывная случайная величина, принимающая свои значения на интервале , и , задается либо функцией распределения

,

либо функцией плотности вероятностей

.

Нормальная случайная величина (или, что тоже самое, случайная величина, распределенная по случайному закону) - величина X, принимающая свои значения в интервале от минус до плюс бесконечности с функцией плотности вероятностей

где числа а и (7 называются параметрами нормального распределения. Смысл параметров : а- среднее (математическое) ожидание, - среднее квадратическое отклонение.

Функция распределения нормального закона с параметрами а и определяется интегралом

Если параметрам а и О" придать значения 0 и 1 соответственно, то получим стандартное ( или нормированное) нормальное распределение. Для стандартного нормального распределения составлены таблицы (приложение 8), точнее, составлены таблицы для интеграла вероятностей (интеграла Лапласа)

Интеграл вероятностей и функция распределения стандартного нормального закона F(x) связаны равенством

.

Таким образом, любое нормальное распределение с произвольными параметрами а и (7 сводится к стандартному закону по формуле

,

где X - значения случайное величины с параметрами а, ;z -значение стандартной (нормированной) нормальной величины.

С помощью функции (интеграла вероятностей) Ф(х) можно решать задачи следующих типов.

Первая задача: найти вероятность того, что случайная величина X с известным средним а и средне квадратическим отклонением (7 принимает значение в интервале (х₁, х₂). Тогда

.

Вторая задача: найти вероятность того, что случайная величина X с известными а и отличается от своего среднего а по абсолютной величине не больше, чем на . Тогда

Третья задача: найти вероятность того, что частота к появления события А при k независимых испытаниях находится в интервале . Тогда

,

где , .

Замечание. Биноминальное распределение (т.е. п независимых испытаний) можно заменить последовательность нормальным тогда, когда np, как и nq, больше 5, т.е. n должно быть большим, а р больше 0,1, лучше всего около 0,5.

Пример 1. Упаковочный аппарат расфасовывает чай в пачки, средняя масса которых 100 г. со средним разбросом (средне квадратическим отклонением 2 г. Какая доля пачек будет иметь массу до 97 г?

Решение. Из условия задачи имеем, что вес пачки чая X -нормальная случайная величина с параметрами a=100 и . Нас интересуют все значения X < 97, следовательно, имеем первую задачу

Функция Ф(х) нечетная , кроме того, для всех она считается равной 0,5. Тогда по таблице находим Ф(1,5) = 0,4332

.

Ответ: доля пачек чая, имеющих массу меньше 97 г, составляет около 7 %.

Пример 2. Партия чая поступает на реализацию, если масса не более, чем одной из взятых 100 пачек чая, может быть меньше 97 г. Какова вероятность того, что расфасованная автоматом, настроенным на средняя масса 100 г и средний (квадратичный) разброс 2 г, партия чая поступит в продажу.

Решение. По условию задачи имеем последовательность 100 независимых испытаний (проверяется 100 пачек пачка за пачкой). Обозначая через Y_(успех) и H_{(неудача)} события, состоящие в том, что вес пачки больше или меньше 97 гр соответственно. Найдем вероятность . Так как

Таким образом, , , , .

Нам нужно найти , следовательно, имеем теперь третью задачу. Вычислим х' и х":

,

,

Тогда

.

Ответ: вероятность того, что партия чая поступит в продажу, равна 0,995, т.е. 99,5 %.

ЗАДАНИЕ

Работа машины, расфасовывающей сахар, подчиняется правилам нормального распределения. Машина может быть настроена на любой из следующих вариантов:

Вариант	Средняя масса, г	Среднее отклонение
1	1001	20
2	1002	20
3	1003	20
4	1004	25
5	1005	25
6	1006	25
7	1007	30
8	1008	30
9	1009	35
10	1010	35

Требуется найти:

1. долю упаковок, содержащих менее 980 г. сахара;

2. какова вероятность того, что расфасованная этой машиной партия сахара будет принята на реализацию, если масса не более чем одной из наудачу взятых 100 упаковок сахара может быть меньше 970 г.