Случайные события и их вероятности

1.Дать понятие множества элементарных исходов , связанного с данным опытом. Привести пример

множество элементарных исходов (будем обозначать Ω), связанного с данным опытом. Под этим понимают множество всех возможных взаимоисключающих исходов опыта.

Пример..

2. Что называется случайным событием в опыте? Чем характеризуется невозможное и достоверное событие

Любое подмножество A множества элементарных исходов Ω интерпретируется как случайное событие. При этом, событие A произошло в опыте (наступило, осуществилось), если результатом этого опыта явился элементарный исход, принадлежащий A.

Событие, совпадающее с пустым множеством Ø, называется невозможным событием, а событие, совпадающее со всем множеством Ω, – достоверным событием.

3. Какие события называются совместными и несовместными. Привести примеры

Два события A и B называются несовместными, если множества A и B не имеют общих элементов, в этом случае A*B =Ø , иначе их называют совместными.

Пример..

4. Что такое сумма, произведение, разность двух событий. Какое событие называется противоположным событию А. Привести пример

Суммой событий A и B в некотором опыте называется событие A + B, состоящее из тех элементарных исходов, которые входят или в событие A, или в событие B, или в то и другое.

Можно сказать, что событие A + B состоит в том, что произошло хотя бы одно из событий A или B (здесь используется не исключающее логическое «или»). Например, пусть в опыте с бросанием игральной кости событие A = {выпало число очков, кратное двум}, B = {выпало число очков, кратное трём}. Тогда событие A + B = {выпало число очков, кратное или двум, или

трём}. Так как Ω= {1, 2, 3, 4, 5, 6}, то A = {2, 4, 6}, B = {3, 6},A + B = {2, 3, 4, 6}.

Произведением событий A и B называется событие A*B ,состоящее из элементарных исходов, принадлежащих и событию A, и событию B, т.е. общих для A и B. Итак, событие A* B происходит тогда и только тогда, когда одновременно происходят оба события A и B (логическое «и»).В разобранном выше примере с бросанием игральной кости событие A* B означает выпадение шести очков, т.е. A* B = {6}.Если же в том же примере рассмотреть события A = {выпадение чётного числа очков}, B = {выпадение нечётного числа очков},то A* B = Ø, т.е. будет невозможным событием. Напомним, что в этом случае говорят: события A и B – несовместные события.

Разностью событий A и B называется событие A – B, состоящее из элементарных исходов события A, но не принадлежащих событию B. Это событие состоит в том, что A происходит, а B не происходит. В опыте с бросанием игральной кости для случайных событий A = {выпало чётное число очков} = {2, 4, 6}, B = {выпало больше 4-х очков} = {5, 6} имеем A – B = {2, 4}, а B – A = {5}.

Событие Ā = Ω- A называется противоположным событию A (дополнительным к A). Событие A означает, что A не произошло (логическое отрицание).

5. Что называется относительной частотой события. Какие свойства относительно частоты вы знаете. Дать статическое определение вероятности события

Пусть A – случайное событие по отношению к некоторому опыту. Предположим, что опыт произведён n раз и при этом событие A произошло n(A)раз или, что тоже, n(A)– число опытов, в которых произошло событие A (число «удачных» опытов для события A). Величину

называют относительной частотой события A в проведённой серии из n опытов. Относительная частота может быть вычислена лишь после того, как проведена серия опытов и, вообще говоря, относительная частота изменяется, если мы проведём другую серию из n опытов, или если изменим число n. Однако, природа случайных событий такова, что на практике наблюдается устойчивость относительных частот. Суть этой устойчивости в том, что по мере увеличения числа опытов n относительная частота Pn (A)практически перестаёт быть случайной и стабилизируется около некоторого постоянного числа P(A), характерного для данного события A в данном опыте.

Если при больших n

то число P(A) является вероятностью события A (статистическое определение вероятности).

6.Вероятностная модель опыта с конечным числом исходом. Дать классическое определение вероятности события.

Значительный интерес представляют опыты с конечным числом одинаково возможных элементарных исходов. Пусть A – случайное событие в таком опыте, состоящее из

N(A) элементарных исходов (говорят в этом случае, что событию A благоприятствуют n(A) элементарных исходов). Тогда вероятность события A определяется по формуле

Итак, если в опыте число всевозможных исходов конечно и сами исходы равно возможны, то вероятность любого случайного события A в таком опыте равна отношению числа n(A) благоприятствующих исходов для события A к общему числу n(Ω) исходов. Это определение вероятности называют классическим.

7. Вероятностная модель опыта с непрерывным множеством исходом. Дать геометрическое определение вероятности события.

Модель опыта..

Пример такого опыта: наугад выбирается точка M фигуры Ω . Наблюдаемый исход – координаты этой точки. Рассмотрим событие A = {наугад взятая точка M фигуры Ω принадлежит её

части Ω1}, т.е. A ={M Є Ω1 включенное в Ω. Предположим, что вероятность события A пропорциональна мере Ω1и не зависит от местоположения Ω1в Ω . Тогда величину

называют вероятностью события A (геометрическая вероятность).

8.Дать аксиоматическое определение вероятности события

9.Записать формулу сложения вероятностей в двух случаях а) события несовместны

Б) события совместны

Для совместных

10.Вывести формулу для -числа размещений из n элементов по m

Рассмотрим вначале размещения в этой схеме (размещения без повторений из n элементов по m). Число всех таких размещений обозначается символом

Чтобы найти число , заметим, что на первом месте в упорядоченной цепочке может оказаться любой из n элементов множества X. После того, как заполнено первое место, на втором месте может оказаться любой из оставшихся n – 1 элементов и т.д. Пользуясь правилом умножения, находим

В частном случае m = n опыт фактически состоит в произвольном упорядочивании множества X и сводится к случайной перестановке элементов всего множества (т.е. перестановка n элементов это размещение из n элементов по n). Число всех перестановок n элементов обозначается символом Pn, при этом

11.сочетания без повторений из n элементов по m.

Число всех таких сочетаний обозначается символом

Так как из каждого сочетания без повторений можно, переставляя элементы, получить m! размещений, то число размещений в m! раз больше, чем число сочетаний, т.е.

Для чисел справедливы свойства, которые следуют из

этой формулы:

12.Дать определение условной вероятности события

Пусть A и B два случайных наблюдаемых события в некотором опыте, причём P(B)≠ 0 . Условной вероятностью P( A| B) события A при условии, что событие B произошло в данном опыте, называется величина, определяемая равенством

Для краткости условную вероятность P(A| B) можно называть «вероятностью события A при условии B». Если P(B) = 0 , то условная вероятность P(A| B)не определена.

13. Записать формулу умножения вероятностей

Из равенства, являющегося определением условной вероятности, следует

P(A* B) = P (B)* P( A| B). Если оба события A и B обладают ненулевой вероятностью, то, поменяв местами эти события, можно записать P( A* B) =P(B)* P(A| B)=P(A)* P (B | A) (формула умножения вероятностей).

14.Дать определение независимости двух случайных событий; независимости в совокупности и попарной независимости для событий A1,……An

15.Что называется полной группой событий в данном опыте

16. Сформулировать и вывести формулу полной вероятности

17. Сформулировать и вывести формулу Бейеса

18. Дать описание схемы Бернулли независимых повторных испытаний. Вывести формулу Бернулли для вычисления величин ,привести с решением конкретный пример использования этой формулы

Задача 1.2. Пусть производится n независимых испытаний,в каждом из которых с одной и той же вероятностью p может наступить некоторое событие A. Требуется найти вероятность

события B = {в n испытаниях событие A наступит ровно k раз}.

Решение. Событие B может быть представлено в виде суммы несовместных событий, каждое из которых включает k успе хов и (n – k) неуспехов. Каждому такому событию в n испыта-

ниях будет соответствовать произведение k букв A и (n – k) букв Ā , чередующихся в том порядке, в котором появляются эти события в n испытаниях. Число таких слагаемых будет равно числу сочетаний

(количество способов расставить k букв A на n мест, остальные (n – k) мест занимаются буквами Ā )

Вероятность появления каждой такой последовательности,ввиду независимости испытаний, равна

Пример 1.22. Стрелок стреляет по цели пять раз подряд. Вероятность поражения цели этим стрелком при каждом выстреле равна 0,8. Какова вероятность того, что цель будет поражена четыре раза?

Решение. Рассматривая каждый выстрел как отдельное испытание, можно сделать вывод, что речь идёт о n = 5 независимых повторных испытаниях с вероятностью успеха (попадания

в цель) p = 0,8, q = 1 – p = 0,2.Применим формулу Бернулли при k = 4 (число успехов):

19.Записать локальную приближенную формулу Лапласа. Указать особенности ее применения для вычисления величин

20. Записать локальную приближенную формулу Лапласа. Указать особенности ее применения для вычисления величин

21. Вывести приближенную формулу Пуассона. Указать особенности ее применения для вычисления величин

при больших n и малых p (обычно p < 0,1; npq < 10)справедливы приближённые равенства (формулы Пуассона)

Замечание. Особенностью формул Пуассона является то,что для вычисления вероятности того или иного числа успехов вовсе не требуется отдельно знать n и p. Всё определяется в конечном счёте числом λ= np (средним числом успехов).

Случайные величины

1.Что называется случайной величиной. Привести примеры дискретных и непрерывных величин

1. Дважды бросается симметричная монета, X1 – число выпадений герба.

2. Производится стрельба по цели до 1-го попадания,X2 – число произведённых выстрелов.

3. В круге радиуса R наугад выбирается точка, X3 – расстояние от этой точки до центра круга.

4. Испытывается прибор на длительность безотказной работы, X4 – время работы этого прибора до его поломки.

Случайной величиной X, связанной с данным опытом, называется числовая функция, определённая на множестве элементарных исходов Ω . Каждой случайной величине соответствует некоторое множество её возможных значений. Случайная величина, принимающая конечное или счётное число возможных значений x1, x2, x3, … на числовой прямой, называется дискретной. Если же случайная величина принимает непрерывное множество значений, например, значениями являются все действительные числа или все числа некоторого промежутка, то такая случайная величина называется непрерывной