23.3. Некоторые свойства волн де Бройля

Рассмотрим движение свободного электрона, которому согласно формулам де Бройля, соответствует волна с длиной

. (*)

Для кратности назовем ее электронной волной. Введем волновой вектор

)

и запишем формулу де Бройля в виде ,

Мы видели, что при дисперсии следует различать две скорости волн: фазовую Uфаз, и групповую u, связанные между собой соотношением

Длинна волны и частоты связаны соотношением

Длина волны λ и частоты V связаны соотношением λV=Uфаз

Очевидно, что фазовая и групповая скорости волны для частицы, свободно движущейся со скоростью v, как – то зависит от v.

Найдем фазовую скорость волн де Бройля.

Для этого воспользуемся соотношением(*) и

K=hw. (hw=A+K, если А=0, hw=K)

Для частицы, движущейся с нерелятивистской скоростью ( V<<C) имеем

Групповая скорость волн де Бройля

Для свободной нерелятивистской частицы

.

Этот результат имеет существенное значение и сыграл в свое время важную роль в развитии принципиальных основ квантовой механики.

После обнаружения волновых свойств у частиц вещества и установления корпускулярно-волновой двойственности свойств частиц была сделана попытка рассматривать частицы как волновые пакеты сколь угодно малой протяженности и таким образом «освободиться» от двойственности свойств частиц.

Это как будто соответствовало тому, что частица локализована в данный момент времени в определенной малой области пространства.

С другой стороны, эта гипотеза подтверждалась тем, что групповая скорость распространения максимума амплитуды «узкого» пакета совпадает со скоростью частицы.

Однако это гипотеза, как мы увидели, оказалась ошибочной.

23.4 Дисперсия волн де Бройля

Волны де Бройля должны испытывать большую дисперсию. Это следует из того, что фазовая скорость волн де Бройля оказывается зависящей от длины волны λ. Действительно

Vфаз= .

При большой дисперсии, свойственной волнам де Бройля, фазовые скорости распространения отдельных составляющих волнового пакета различны и волновой пакет «расплывается».

Для частиц с массой порядка массы электрона время расплывания пакета оказывается ничтожно малым( порядка 10^-26 С!).

Т.О., попытка «избавиться» от корпускулярно – волновой двойственности свойств частиц вещества рассмотрением их как волновые пакеты не удалось.

Причина этого весьма глубокая : двойственность свойств частиц – это объективная закономерность, которая сказывается в многочисленных явлениях, изучаемых физикой.

23.5. Соотношения неопределенностей Гейзенберга

Корпускулярно-волновая двойственность свойств частиц, изучаемых в квантовой механике, приводит к весьма важному вопросу о границе применимости понятий классической физике в микромире.

Сама по себе проставление этого вопроса не должно вызывать удивления. И в классической физике некоторые привычные понятия в определенных случаях имеют границы применимости. Например, понятие температуры неприменимо к одной молекуле, понятие о точечной локализации ( о пребывании в определенной точке) неприменимо к определению положения в пространстве электромагнитной волны. Подобно этому в квантовой механике также существуют ограничения.

Мы знаем, что для любых волновых процессов существует соотношение

где пространственная протяженность некоторого вида волн; интервал волновых чисел монохроматических волн, составляющих этот цуг.

Для волны де Бройля, частицы, движущиеся вдоль оси Х с импульсом

Рх=hk, имеем

Тогда

Рассматривая движения частицы вдоль осей Y и Z с проекциями импульсов Py и Pz мы получим аналогичные соотношения

Формула (**)-(***) называют соотношениями неопределенностей Гейзенберга.

Они показывают, что координаты x,y,z частицы и проекции Px, Py, Pz ее импульса на соответствующее оси не имеют одновременно значений, равных . Их значения определены лишь с некоторой степенью точности.

Другими словами, классические понятия координаты и импульса применимы к микрочастицам лишь в пределах, устанавливаемых соотношениями Гейзенберга.

Предельный случай: если частица находится в состоянии с точным значением координаты ( , то в этом состоянии соответствующая проекция ее импульса оказывается совершенно неопределенной , и наоборот.

Для микрочастицы не существует состояний, в которых ее координаты и соответствующие им проекции импульса имели бы одновременно точные значения.

Соотношения (**)-(***) существуют не только для координат и импульсов, но для энергии и времени.

Действительно

)

Это соотношение играет большую роль в атомной и ядерной физике.