7.3. Закон Стефана-Больцмана

В 1884 г. Людвиг Больцман, применив термодинамический метод к исследованию черного излучения (равновесного теплового излучения внутри замкнутой полости), теоретически показал, что интегральная испускательная способность (энергетическая светимость) абсолютно черного тела пропорциональна четвертой степени его абсолютной температуры:

. (7.13)

Этот закон получил название закона Стефана-Больцмана. Коэффициент пропорциональности ( Вт/(м²∙К⁴)) называется постоянной Стефана-Больцмана. Таким образом, закон Стефана-Больцмана устанавливает связь между интегральной испускательной способностью (энергетической светимостью) абсолютно черного тела и его абсолютной температурой .

Для серого тела:

. (7.14)

Физически представляет собой площадь под кривой, представленной на рис. 7.4. Здесь величина обозначена как , а величина как

Рисунок 7.4. Плотность потока излучения в спектральной полосе

Примечание. Если, например, оценить излучение человеческого тела, температура которого около T = 300 K, то R_T составит R_T = 500 Вт/м². При площади кожного покрова около 2 м² мощность Р, теряемая излучением, выражается величиной Р = 1 кВт. Здесь считается, что кожа излучает как абсолютно черное тело, что для инфракрасной области практически верно. Следует, однако, заметить, что эти потери энергии компенсируются поглощением излучения, поступающего из окружающей среды, в частности от одежды.

7.4. Закон смещения Вина

Эксперименты показали, что зависимость тела от частоты при разных температурах абсолютно черного тела имеет вид, изображенный на рис.7.5. Существование на каждой кривой более или менее ярко выраженного максимума свидетельствует о том, что энергия излучения абсолютно черного тела распределена по его спектру неравномерно: абсолютно черное тело почти не излучает в области очень малых и очень больших частот.

Вином была установлена зависимость

, (7.15)

где - функция отношения частоты излучения абсолютно черного тела к его температуре.

Из формулы (7.15) можно найти зависимость частоты от температуры , соответствующей максимальному значению излучательной способности абсолютно черного тела

, (7.16)

где - постоянная величина.

Таким образом частота, соответствующая максимальному значению излучательной способности абсолютно черного тела прямо пропорциональна его абсолютной температуре. Это уравнение выражает закон смещения Вина.

Принимая во внимание соотношение и полагая , получим другую форму выражения закона смещения Вина

, (7.17)

где - постоянная Вина ( ). Отсюда следует, что при понижении температуры абсолютно черного тела максимум энергии его смещается в область больших длин волн.

Объект при температуре около 290 К имеет максимум спектральной плотности потока излучения при ≈ 10 мкм, в то время как Солнце, эффективная (кажущаяся) температура которого ~ 6000 К, имеет максимум при ≈ 0,5 мкм (природа сделала отличный выбор - именно эта длина волны является центральной в видимом спектре). Заметим, что жидкий азот (Т = 77 К) имеет максимум при = 38 мкм.

Рисунок 7.5. Спектральное распределение плотности потока излучения различных источников

1 ― Солнце, Т ≈ 6000 К; 2 ― излучение черного тела при температуре окружающей среды Т ≈ 290 К; 3 ― излучение черного тела при температуре Т ≈ 77 К.

Теперь становится понятным, почему при понижении температуры светящихся тел в их спектре все сильнее преобладает длинноволновое излучение - белое каление переходит в красное, а затем вообще не воспринимается глазом.