1.2. Расчет интерференционной картины от двух когерентных источников света

Условия интерференционных максимумов и минимумов. Когерентные световые волны можно получить, разделив волну, излучаемую одним источником, на две части. Если заставить эти две волны пройти пути в среде с разными показателями преломления, а потом наложить их одна на другую, наблюдается интерференция.

Рисунок 3.5. К оптической разности хода

Пусть разделение на две когерентные волны происходит в точке (рис. 3.5). До точки первая волна проходит в среде с показателем преломления путь , вторая волна проходит в среде с показателем преломления путь . Если в точке фаза колебания равна , то первая и вторая волны возбудят в точке соответственно колебания

, (3.22)

, (3.23)

где и – фазовые скорости волн. Следовательно, разность фаз колебаний, возбуждаемых волнами в точке , будет равна

, (3.24)

где величина

, (3.25)

имеющая размерность длины и для однородной среды равная произведению геометрической длины пути на показатель преломления среды называется оптической длиной пути.

Заменив в (3.24) множитель на ( – длина волны в вакууме), выражению для разности фаз можно придать вид

, (3.26)

где

(3.27)

есть величина, равная разности оптических длин путей, проходимых волнами и называемая оптической разностью хода.

Из формулы (3.26) видно, что если оптическая разность хода равна четному числу полуволн в вакууме,

, (3.28)

то разность фаз оказывается кратной и колебания, возбуждаемые в точке обеими волнами, будут происходить с одинаковой фазой. Таким образом, (3.28) есть условие интерференционного максимума.

Если оптическая разность хода равна нечетному числу полуволн в вакууме,

, (3.29)

то , так что колебания точке находятся в противофазе. Следовательно, (3.29) есть условие интерференционного минимума.

Целое число называется порядком интерференции. Порядок интерференции есть округленная до целого числа оптическая разность хода интерференционных лучей, выраженная в длинах волн (в вакууме).

Ширина интерференционной полосы. Рассмотрим две когерентные световые волны, исходящие из источников и (рис. 3.6). Область, в которой эти волны перекрываются, называется полем интерференции. Во всей этой области происходит чередование мест с максимальной и минимальной интенсивностью света. Если в поле интерференции внести экран, то на нем будет видна интерференционная картина, которая имеет вид чередующихся светлых и темных полос. Вычислим ширину этих полос в предположении, что экран параллелен плоскости, проходящей через источники и . Положение точки на экране будем характеризовать координатой . Начало отсчета выберем в точке , относительно которой и расположены симметрично. Источники будем считать колеблющимися в одинаковой фазе. Из рис. 3.6 видно, что

, .

Следовательно

.

Для получения различимой интерференционной картины расстояние между источниками должно быть значительно меньше расстояния до экрана .

Кроме того, расстояние , в пределах которого образуются интерференционные полосы, также бывает значительно меньше . При этих

Рисунок 3.6. К расчету интерференционной картины от двух источников

условиях можно положить . Тогда . Умножив на показатель преломления среды , получим оптическую разность хода

. (3.30)

Подстановка значения из (3.30) в условие (3.28) показывает, что максимумы интенсивности будут наблюдаться при значениях , равных

. (3.31)

Здесь – длина волны в среде, заполняющей пространство между источниками и экраном.

Подстановка значения из (3.30) в условие (3.29), дает

. (3.32)

Расстояние между двумя соседними максимумами интенсивности называется расстоянием между интерференционными полосами, а расстояние между соседними интерференционными минимумами интенсивности – шириной интерференционной полосы. Из формул (3.31) и (3.32) следует, что расстояние между полосами и ширина полосы имеют одинаковое значение, равное

. (3.33)

Согласно (3.33). расстояние между полосами растет с уменьшением расстояния между источниками . Для того, чтобы интерференционная картина была отчетливой, необходимо соблюдение условия .

Если интенсивность интерферирующих волн одинакова (I₁=I₂=I₀), то согласно (3.18) результирующая интенсивность в точках, для которых разность фаз равна ∆φ, определяется выражением

Тогда на основании (3.26) и (3.30) получим