ТЕМА № 20 (4лц+4пр+8ср)

ВОЛНОВАЯ ОПТИКА

1. Интерференция света

1.1. Общие сведения об интерференции

Рассмотрим, что будет происходить при наложении двух пучков света в какой-либо точке M пространства. Пусть – напряженность электрического поля, создаваемая первым пучком света в этой точке, а – вторым. Согласно принципу суперпозиции, результирующая напряженность поля в той же точке, создаваемая обоими пучками, будет представляться векторной суммой

. (3.1)

В явлениях интерференции, дифракции и пр. представляют интерес не абсолютные, а только относительные значения этих величин. Например, нас может интересовать относительное распределение освещенности на экране, куда попадает свет При такой постановке вопроса нет смысла точно указывать, о какой именно энергетической или фотометрической величине идет речь в том или ином конкретном случае. Заключения будут относиться к любой усредненной по времени величине, квадратичной по напряженности электрического поля. Эту нечетко определенную величину принято называть интенсивностью света или интенсивностью колебаний. Ниже она обозначается через . За мы будем обычно принимать усредненное по времени значение квадрата напряженности электрического поля, т.е.

. (3.2)

Найдем теперь интенсивность света в какой-либо точке пространства, где перекрываются два пучка света. Возведя равенство (3.1) в квадрат и произведя усреднение по времени, получим

, (3.3)

где – интенсивность света первого пучка, – второго. Последнее слагаемое

, (3.4)

учитывающее взаимодействие пучков, называется интерференционным членом.

Если взять независимые источники света, например две электрические лампочки, то повседневный опыт показывает, что , т.е. результирующая интенсивность равна сумме интенсивностей налагающихся пучков, а потому интерференционный член обращается в нуль. Тогда говорят, что пучки не коррелированы или не когерентны между собой. Однако, если накладывающиеся пучки не независимы, например один получается отражением другого от зеркала, то в некоторых случаях интерференционный член не обращается в нуль, а потому . В одних точках пространства результирующая интенсивность может быть больше, а других меньше суммы интенсивностей и . Таким образом, при наложении когерентных световых волн происходит перераспределение светового потока в пространстве, в результате чего в одних местах возникают максимумы, а в других – минимумы интенсивности. Это явление называется интерференцией волн.

Рисунок 3.1. Явление интерференции света

Принцип наблюдения интерференции иллюстрирует рис. 3.1. Если два однородных световых пучка, падающих на экран, свести вместе, то они образуют систему из чередующихся темных и светлых полос – интерференционную картину. Подобный опыт можно осуществить, используя пучки лазерного света.

Определим теперь условия, при которых , и . Допустим сначала, что в рассматриваемой точке наблюдения оба вектора и одинаково направлены. Тогда с учетом векторного характера колебаний представим вектора и в виде

, , (3.5)

где , и , – векторы амплитуд и фазы первого и второго колебаний, соответственно; и – постоянные циклические (круговые) частоты первого и второго колебаний, и – постоянные начальные фазы первого и второго колебаний. Далее выполним сложение двух одинаково направленных гармонических колебаний. Эта задача значительно облегчается и становится наглядной, если изображать колебания в виде векторов на плоскости. Полученная таким способом схема называется векторной диаграммой. Рассмотрим этот метод более подробно.

Возьмем ось, которую обозначим буквой (рис. 3.2). Из точки , взятой на оси, отложим вектор длины , образующий с осью угол . Если привести этот вектор во вращение с угловой скоростью , то проекция концы вектора будет перемещаться по оси в пределах от до , причем координата этой проекции будет изменяться со временем по закону

. (3.6)

Следовательно, проекция конца вектора на ось будет совершать гармоническое колебание с амплитудой, равной длине вектора, с круговой частотой, равной угловой скорости вращения вектора, и с начальной фазой, равной углу, образуемому вектором с осью в начальный момент времени.

Таким образом, гармоническое колебание может быть задано с помощью вектора, длина которого равна амплитуде колебания, а направление вектора образует с осью угол, равный начальной фазе колебания.

Рисунок 3.2. Графическое изображение гармонического колебания

Рисунок 3.3. Графическое сложение гармонических колебаний

Применим теперь метод векторной диаграммы к сложению векторов (3.5). Построим по правилам сложения векторов результирующий вектор (рис. 3.3). Проекция этого вектора на ось равна сумме проекций слагаемых векторов:

. (3.7)

Здесь под величинами , и понимается напряженность электрических полей , и , соответственно. Результирующим колебаниям (3.7) соответствует вектор

, (3.8)

проекция которого на ось равна

. (3.9)

По теореме косинусов

, (3.10)

. (3.11)

Два колебательных процесса называются когерентными колебаниями, если они согласованно протекают во времени, так что разность их фаз остается постоянной.

Разность фаз двух гармонических колебаний и равна

. (3.12)

Следовательно, два гармонических колебания когерентны, если их циклические частоты одинаковы, т.е. . Тогда из (3.12) следует, что в любой момент времени разность фаз:

. (3.13)

Соответственно результирующие колебания – гармонические с той же циклической частотой , т.е.

, (3.14)

где

, (3.15)

. (3.16)

Так как , то с учетом (3.2) из сравнения выражений (3.3) и (3.15) следует

. (3.17)

Таким образом, на основании (3.3) результирующая интенсивность имеет вид

. (3.18)

1. Если колебания синфазны, т.е. начальные фазы и одинаковы или отличаются на четное число , то интенсивность максимальна и равна

. (3.19)

2. Если колебания противофазны, т.е. начальные фазы и отличаются на нечетное число , то получается минимальная интенсивность:

. (3.20)

3. Если колебания совершаются в квадратуре, т.е. их начальные фазы отличаются на , где m – целое число,

. (3.21)

Полученным трем условиям для интенсивности можно дать наглядное представление (рис. 3.4)

Рисунок 3.4. Зависимость интенсивности от разности фаз