4. Найдём величины углов:

I способ:

Нахождение тангенса угла между прямыми заданными угловыми коэффициентами

угол , на который надо повернуть в положительном направлении прямую l₁ вокруг точки их пересечения до совпадения с прямой l₂ находится по формуле:

Найдём величину угла А:

Найдём величину угла В:

Найдём величину угла С:

II способ:

Нахождение косинуса угла между векторами (средствами векторной алгебры):

5. Найдём уравнения биссектрис:

Для определения уравнения биссектрисы угла воспользуемся уравнениями двух прямых, образовавших этот угол, А₁х+В₁у+С₁=0 и А₂х+В₂у+С₂=0, тогда уравнения таких биссектрис имеют вид:

уравнения биссектрисы угла В АВ: 3х-4у-3=0 ВС: 24х-7у+201=0 Уравнения двух биссектрис угла В (внутреннего и внешнего) имеют вид: Искомый угловой коэффициент должен удовлетворять неравенству: kBA<kBS<kBC, так как kBA=0,75, kBС=24/7, то kBS=13/9 и уравнение биссектрисы ВS имеет вид: 13х-9у+62=0.

6. Найдём уравнения медиан:

медиана СМ, где М — середина АВ М( ; )
Уравнение медианы СМ

Задача 2.

Пусть точка А(-3; 2) - вершина квадрата ABCD, а его диагональ BD расположена на прямой х+3у-13=0. Найдите:

1. Координаты вершин b, c и d;

2. Уравнения сторон ab, bc, cd и da.

Сделайте чертеж.

Решение.

1. Найдем уравнение прямой, на которой лежит AC – вторая диагональ квадрата. Вспомним, что уравнение любой невертикальной прямой может быть приведено к виду y=kx+b, где параметр k – угловой коэффициент этой прямой.

В силу свойства 1) диагоналей квадрата угловые коэффициенты k_AC и k_BD прямых AC и BD связаны соотношением:

k_AC·k_BD =-1 (1)

Найдем угловой коэффициент k_BD. Для этого выразим y через x из данного уравнения прямой BD:

х+3у-13=0,

у=-¹/₃х+¹³/₃,

Итак, . Поэтому из соотношения (1) получим, что k_АС=3.

Теперь уже легко найти уравнение прямой AC. Нам известны координаты её точки А и угловой коэффициента k_AC. Используем уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении:

.

Подставим в это уравнение числовые данные нашей задачи: х_А=-3, у_А=2, k_АС=3. Получим: или (после упрощений)

AC: 3х-у+11=0.

2. С помощью свойства 2) диагоналей квадрата найдем координаты центра Е квадрата – точки пересечения его диагоналей.

Поскольку точка Е лежит на диагонали АС, её координаты удовлетворяют прямой АС; аналогично рассуждая, получим, что координаты точки Е должны одновременно удовлетворять и уравнению прямой BD. Таким образом, координаты точки Е должны удовлетворять системе из уравнений прямых АС и BD

(первое - уравнение прямой BD, второе – прямой АС). Далее, почленно вычитая первое уравнение из второго, получим:

, значит

х=-2.

Подставим найденное значение х в любое из уравнений системы, например, в первое. Найдем, что у=5.

Итак, мы нашли координаты точки Е, центра квадрата: -2 5, то есть Е(-2; 5).

3. Найдем длину отрезка АЕ – половину диагонали квадрата, а затем воспользуемся тем, что и остальные вершины квадрата находятся от его центра на таком же расстоянии (свойства 2) и 3) диагоналей), т.е. что все вершины квадрата лежат на окружности радиуса АЕ с центром в точке Е.

Подставив в правую часть этой формулы числовые значения координат точек А и Е, получим, что

.

Уравнение окружности радиуса АЕ с центром в точке Е записывается в виде:

.

Подставив в него числовые значения радиуса АЕ и координат центра Е, получим уравнение окружности, проходящей через все вершины квадрата:

.

Теперь с помощью простого рассуждения находим по очереди координаты всех вершин квадрата.

Точки А и С лежат на пересечении найденной нами окружности и прямой АС, это общие точки указанных окружности и прямой. Значит, координаты этих точек – решения системы уравнений окружности и прямой:

.

Координаты вершины А мы знаем, поэтому будем искать вершину С.

Подставим во второе уравнение системы вместо у его выражение 3х+11 из первого уравнения. Получим:

,

откуда , поэтому , т.е. , значит . Если квадрат числа равен 1, это число равно либо 1, либо -1. Поэтому и тогда , либо и тогда .

Во втором случае мы получили известную нам абсциссу вершины А (а из первого уравнения системы получим ординату этой вершины), а первый случай дает нам абсциссу вершины С: . Итак, найдена вершина С(-1; 8).

Аналогично, для нахождения координат вершин B и D надо решить систему, состоящую из уравнений прямой BD и той же окружности:

.

Итак, получены два решения системы, пара (1; 4) и (-5; 6). Одно из этих решений – координаты точки B, а второе – точки D. Поскольку обе эти вершины совершенно равноправны, мы можем любую из них обозначить буквой B, тогда вторая будет вершиной D. Вся разница в том, идут ли вершины A, B, C и D в порядке обхода контура квадрата по или против часовой стрелки, что для решения нашей задачи безразлично; просто надо выбрать одно из этих направлений произвольно.

Мы будем считать, что вершины квадрата таковы: B(1; 4); D(-5; 6).

4. Нам осталось найти уравнения сторон квадрата. Для этого вспомним уравнение прямой, проходящей через точки и :

(2)

и подставим в него координаты соответствующих вершин квадрата.

Уравнение прямой AB получим, если в формулу (2) вместо точек M и N возьмем точки A и B:

.

Подставляя в это уравнение координаты вершин А(-3; 2) и B(1; 4), находим:

или 2(у-2)=х+3,

откуда .

Аналогично получаем уравнения других сторон. Теперь можно сделать чертеж – Рис. 1.

Рис. 1.

Ответ:

А(-3; 2);

B(1; 4);

С(-1; 8);

D(-5; 6)

Е(-2; 5);

AB: у=0,5х+3,5;

BС: у=-0,5х+6;

СD: у=0,5х+8,5;

AD: у=-0,5х-4.