2. Пример определения положения центра тяжести и главных центральных моментов инерции сложного сечения

Задача

Для заданного сложного сечения определить положение центра тяжести и найти главные центральные моменты инерции.

Решение

Сечение имеет одну ось симметрии, следовательно, она является главной центральной осью (у) и центр тяжести сечения лежит на этой оси. Вторая главная центральная ось (х) перпендикулярна первой и проходит через центр тяжести сечения. Определим положение центра тяжести сложного сечения по оси у. Для этого:

• разобьем сложное сечение на простейшие, его составляющие: прямоугольник (1), квадрат (2) и полукруг (3);

• отметим центры тяжести простейших сечений точками С₁, С₂, и С₃, соответственно. Центры тяжести прямоугольника и квадрата лежат на пересечении их диагоналей, а у полукруга он смещен от его основания на расстояние, равное . Проведем горизонтальные оси х₁, х₂, х₃ через точки С₁, С₂, и С₃, соответственно. Эти оси являются главными центральными осями простейших сечений;

• выберем вспомогательную систему координат, относительно которой будем находить положение центра тяжести всей фигуры. Свяжем её, например, с центром тяжести прямоугольника, т.е. х₁Оу – вспомогательная система координат;

• определим ординаты точек С₁, С₂, и С₃ в выбранной системе координат:

, , ;

• найдем площади простейших фигур:

для прямоугольника ,

для квадрата ,

для полукруга ;

• найдем статические моменты простейших фигур относительно вспомогательной оси х₁:

,

,

;

• подставим найденные значения в формулу для определения координаты общего центра тяжести:

.

Знак «–» у вторых слагаемых числителя и знаменателя формулы означает, что вторая фигура (квадрат) не входит в сложное сечение (является отверстием, «вынимается» из прямоугольника).

• отложим по оси у от вспомогательной оси х₁ вниз отрезок, равный 1,22а, и нанесем точку С – общий центр тяжести сложного сечения. Проведем через точку С ось х – вторую главную центральную ось сложного сечения. Таким образом, оси х и у – главные центральные оси сложного сечения.

Найдем теперь относительно этих осей главные центральные моменты инерции I_x и I_y. Сначала определим момент I_x. Для этого:

• Найдем расстояния между общей осью х и параллельной ей осью каждой простейшей фигуры х₁, х₂, х₃, соответственно, т.е. отрезки СС₁, СС₂ и СС₃:

• Определим осевые моменты инерции простейших фигур относительно их главных центральных осей:

– для прямоугольника,

– для квадрата,

– для полукруга.

• Пересчитаем их относительно общей главной центральной оси х, воспользовавшись теоремой о параллельном переносе осей:

• Сложим найденные величины, согласно теореме о сложении моментов инерции. Таким образом, главный центральный момент инерции сложного сечения относительно оси х равен:

Найдем теперь главный центральный момент инерции относительно оси у. Здесь расчеты будут несколько проще, поскольку все центры тяжести лежат на этой оси и она является главной центральной осью как простых фигур, так и всей сложной, т.е. оси у₁, у₂, у₃ и у совпадают, а следовательно не нужно применять теорему о параллельном переносе осей, достаточно воспользоваться теоремой о сложении моментов инерции и соответствующими формулами для простейших фигур:

Здесь для полукруга мы воспользовались формулой момента инерции полного круга, поделив её на 2. Это возможно, поскольку ось у проходит через центр полного круга, а полукруг является его половиной.

Таким образом, мы нашли главные центральные моменты инерции заданного сложного сечения:

,

Задача решена.