2. Пример решения задачи

Задача

Двухопорная балка двутаврового сечения нагружена системой поперечных сил и изгибающих моментов.

Провести проверку жесткости балки, если размер её поперечного сечения – двутавр №27а, , (где L – расстояние между опорами).

Решение

1. Построим эпюры поперечной силы и изгибающего момента .

2. Определим перемещения незакрепленных сечений балки: С, D, К методом Мора.

Для определения прогиба сечения С разгрузим балку от внешних нагрузок и приложим к этому сечению единичную безразмерную сосредоточенную силу в направлении перемещения (вертикально). Построим от её действия единичную эпюру изгибающих моментов , определив предварительно из уравнений равновесия реакции в опорах: , .

«Перемножим» грузовую эпюру моментов на единичную , используя формулу Симпсона (2). Количество участков перемножения k=4: СА, AD, DK и KB. Методом сечений найдем значения грузового и единичного моментов посередине длины каждого участка.

Тогда:

,

где модуль Юнга , момент инерции для двутавра №27а определяем по сортаменту: . Значение перемещения получили положительное, следовательно, приложенная в точке С единичная сила показывает истинное направление перемещения. Таким образом, при изгибе балки сечение С смещается вниз на 2,8мм.

Аналогично определим прогиб балки в сечении D. Вновь разгрузим балку от внешних нагрузок и приложим к сечению D единичную силу. Построим единичную эпюру и найдем перемещение по формуле Симпсона. При этом количество участков перемножения k=3: AD, DK, KB.

Знаки «–» в квадратных скобках означают, что на всех участках перемножения грузовая и единичная эпюры расположены с разных сторон от осевой линии, т.е. перемножаемые в формуле Симпсона моменты имеют противоположные знаки. Полученное отрицательное значение перемещения говорит о том, что сечение D смещается в сторону, противоположную направлению приложенной единичной силы. Таким образом, сечение D смещается вертикально вверх на 4,5мм.

Определим прогиб сечения К. Разгрузим балку от внешних нагрузок и приложим к сечению К единичную силу. Построим единичную эпюру и найдем перемещение по формуле Симпсона. При этом количество участков перемножения k=3: AD, DK, KB.

Таким образом, сечение К балки смещается вверх на 4,4мм.

3. Изобразим приближенный вид изогнутой оси балки и определим максимальный прогиб .

Изобразим сначала прямолинейную ось балки, какой она была до приложения нагрузки. Отметим в граничных сечениях найденные значения перемещений, учитывая, что закрепленные сечения А и В сместиться не могут: (вниз), , (вверх), (вверх), . Соединим полученные точки плавной кривой выпуклостью вверх, т.к. эпюра изгибающих моментов , построенная на растянутых волокнах, полностью лежит выше осевой линии.

По виду изогнутой оси балки определяем, что максимальный прогиб получился в сечении D: .

4. Проверим выполнение условия жесткости. Найдем численное значение допускаемого перемещения: . Тогда:

> ,

следовательно, условие жесткости не выполняется.

Задача решена.