4. Аналитический метод кинематического анализа
4.1. Общие сведения о методе
Графический (метод диаграмм) и графоаналитический методы (метод планов скоростей и ускорений) кинематического анализа механизмов имеют недостатки: невысокая точность, определяемая точностью графических построений, и большая трудоёмкость. При иcпользовании графического метода необходимо построить диаграммы перемещений, скоростей и ускорений для каждой исследуемой точки механизма, а при использовании графоаналитического метода – несколько планов скоростей и ускорений механизма, чтобы определить динамику изменения скорости и ускорения интересующих нас точек (т.е. при различных положениях механизма).
Эти недостатки отсутствуют в аналитическом методе. Но при этом необходимо составлять достаточно сложные аналитические зависимости (формулы) и иметь возможность решать их с использованием компьютерных техники и технологии, что в последнее время возможно и доступно.
Методы аналитического исследования:
Метод замкнутых векторных контуров (метод Зиновьева) удобен для кинематического анализа практически всех используемых в технике несложных рычажных механизмов;
метод преобразования координат (метод Морошкина) удобен для кинематического анализа многозвенных механизмов типа манипуляторов промышленных роботов.
Прежде чем говорить об аналитическом методе, введем некоторые понятия и определения.
П
оложение
любого звена механизма может определяться
параметрами: углом К
относительно какой-либо координатной
оси или координатами ХК
и YК (рис.
6.3).
Функция положения – это аналитическая зависимость положения или координаты К-го звена (К, ХК или YК ) от положения ведущего звена 1, т.е. К (1) или XK(1) и YK(1), где К, XK и YK – координаты, определяющие положение К-го звена (ведомого), а угол j1 – угол, характеризующий положение ведущего звена.
Аналог скорости. Угловая скорость К-го звена определяется зависимостью
Рис. 6.3.
где
– аналог скорости К-го звена
(первая передаточная функция) для
вращающегося звена;
и
–
аналоги скорости К-го звена,
движущегося поступательно.
Аналог ускорения. Угловое ускорение К-го звена определяется зависимостью, получаемой дифференцированием уравнения (2) по dt:
.
При дифференцировании предполагается, что угловая скорость К-го звена к определяется зависимостью
,
а угол к
является функцией угла 1:
.
Величина
– аналог ускорения К-го звена,
движущегося вращательно, величины
и
– аналоги ускорения К-го звена,
двигающегося поступательно, в проекциях
на оси X и Y.
Введение в кинематический анализ понятий аналогов отделяет геометрические свойства механизма от кинематических.
Величину
называют ещё передаточным отношением,
так как выражение
можно преобразовать, умножив и разделив
его на величину dt:
или
.
Аналог скорости звена также называют первой передаточной функцией.
Lля решения задачи о положениях звеньев исследуемого механизма необходимо найти функции положения (К или ХК и YК ), предварительно составив векторное уравнение замкнутого векторного контура кинематической цепи и уравнения проекций его на координатные оси Х и Y. Из этих уравнений находят функции положения (зависимости положений исследуемого звена от положения ведущего звена). При известном (заданном) законе движения ведущего звена задаются шагом и вычисляют координаты исследуемых звеньев (угловые координаты для вращающегося звена и прямоугольные для звена, совершающего возвратно-поступательное движение).
Для решения задачи о скоростях необходимо найти аналоги скоростей исследуемых звеньев и, умножив их на угловую скорость ведущего звена, получить формулы расчета искомых скоростей.
Для решения задачи об ускорениях находят также аналоги ускорений звеньев и по формулам, приведенным в таблице, находят величины ускорений.
Пример 6.3.
Даны кривошипно-ползунный механизм, длины звеньев которого – кривошипа и шатуна – LOA = L1 и LAB = L2 соответственно, и угловая скорость кривошипа 1 = const.
Определить скорости и ускорения всех кинематических пар и центра тяжести шатуна.
Решение
Используем метод замкнутых векторных контуров (рис. 6.4).
Рис. 6.4. Замкнутый векторный контур кривошипно-ползунного механизма
Рассмотрим замкнутый векторный контур OABCO. Соблюдая единообразие отсчёта углов, определяющих положение звеньев, составим векторное уравнение
. (3)
Спроектируем (2.4) на координатные оси Х и Y:
(4)
(5)