41. Теплопроводность цилиндрической стенки в граничных условиях 1-го рода.

Теплопроводность в цилиндрической стенке (граничные условия 1-ого рода).

Рассмотрим стационарный процесс теплопроводности через однородную цилиндрическую стенку (трубу) длиной l с внутренним радиусом r₁ и наружным r₂. Теплопроводность материала стенки  – величина постоянная. На поверхности стенки заданы постоянные температуры t_c1 и t_c2.

В случае (l>>r) изотермические поверхности будут цилиндрическими, а температурное поле одномерным. Т.е. t=f(r), где r – текущая координата цилиндрической системы, r₁rr₂. Тогда уравнение теплопроводности, которое для плоской стенки имело вид , для цилиндрической примет следующую форму: .

Введение новой переменной позволяет привести уравнение к виду: .

Граничные условия I рода записываются равенствами:

при r = r₁: t = t_c1;

при r =r₂: t = t_c2.

Подставляя эти выражения в равенство , имеем:

;

.

Подставляя значения С1 и С2 в уравнение , получим:

,

или

.

Это выражение представляет собой уравнение логарифмической кривой. Следовательно, внутри однородной цилиндрической стенки при постоянном значении теплопроводности температура изменяется по логарифмическому закону.

Для нахождения количества теплоты, проходящего через цилиндрическую стенку поверхность площадью F в единицу времени, можно воспользоваться законом Фурье:

.

Подставляя в уравнение закона Фурье значение градиента температуры согласно уравнению получим: (*)  величина Q зависит не от толщины стенки, а от отношения его внешнего диаметра к внутреннему.

Если отнеси тепловой поток, отнесенный к единице длины цилиндрической стенки, то уравнение (*) можно записать в виде .

42. Теплопроводность цилиндрической стенки в граничных условиях 3-го рода.

Теплопередача через цилиндрическую стенку (граничные условия 3-его рода).

Рассмотрим однородную цилиндрическую стенку большой длины с внутренним диаметром d₁, наружным диаметром d₂ и постоянной теплопроводностью. Заданы значения температуры горячей t_ж1 и холодной t_ж2 среды и коэффициенты теплоотдачи ₁ и ₂. для стационарного режима можно записать:

; ;

где - линейный коэффициент теплопередачи, характеризует интенсивность передачи теплоты от одной жидкости к другой через разделяющую их стенку; численно равен количеству теплоты, которое проходит от одной среды к ругой через стенку трубы длиной 1м в единицу времени при разности температур между ними в 1К.

Величина, обратная линейному коэффициенту теплопередачи, называется линейным термическим сопротивлением теплопередаче.

Для многослойной стенки линейное термическое сопротивление теплопередаче складывается из линейных сопротивлений теплоотдаче и суммы линейных термических сопротивлений теплопроводности слоев.

Температуры на границе между слоями: