Вариант № 55863

1. B 15 . Ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в пра­виль­ный тре­уголь­ник, равен . Най­ди­те сто­ро­ну этого тре­уголь­ни­ка.

По­яс­не­ние.

Из­вест­но, что а по усло­вию . По­это­му длина сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка

Ответ: 1.

Ответ: 1

2. B 15 . Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квад­рат­ных сан­ти­мет­рах.

 

По­яс­не­ние.

Пло­щадь четырёхуголь­ни­ка равна раз­но­сти пло­ща­ди боль­шо­го квад­ра­та и двух пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков, ги­по­те­ну­зы ко­то­рых яв­ля­ют­ся сто­ро­на­ми ис­ход­но­го че­ты­рех­уголь­ни­ка. По­это­му

 

.

 

Ответ: 2

3. B 15 . В тре­уголь­ни­ке угол равен 90°, – вы­со­та, , . Най­ди­те .

По­яс­не­ние.

 

.

Ответ: 4,8.

Ответ: 4,8

4. B 15 . Два угла впи­сан­но­го в окруж­ность че­ты­рех­уголь­ни­ка равны 65° и 41°. Най­ди­те боль­ший из остав­ших­ся углов этого че­ты­рех­уголь­ни­ка. Ответ дайте в гра­ду­сах.

По­яс­не­ние.

Сумма про­ти­во­по­лож­ных углов впи­сан­но­го в окруж­ность четырёхуголь­ни­ка равна 180°, по­это­му за­дан­ные углы — смеж­ные. Боль­ший из остав­ших­ся углов даёт в сумме с мень­шим из за­дан­ных 180°, по­это­му он равен 180° − 41° = 139°.

 

Ответ: 139.

Ответ: 139

5. B 15 . Най­ди­те квад­рат длины век­то­ра .

По­яс­не­ние.

Длина век­то­ра опре­де­ля­ет­ся сле­ду­ю­щим вы­ра­же­ни­ем:

 

,

По­это­му

.

Ответ: 40.

Ответ: 40

6. B 15 . Чему равен ост­рый впи­сан­ный угол, опи­ра­ю­щий­ся на хорду, рав­ную ра­ди­у­су окруж­но­сти? Ответ дайте в гра­ду­сах.

По­яс­не­ние.

Рас­смот­рим тре­уголь­ник . Он рав­но­сто­рон­ний, так как . Тогда равен по­ло­ви­не цен­траль­но­го угла, опи­ра­ю­ще­го­ся на ту же хорду, т. е.

Ответ: 30.

Ответ: 30

7. B 15 . Точки , , , , рас­по­ло­жен­ные на окруж­но­сти, делят эту окруж­ность на че­ты­ре дуги , , и , гра­дус­ные ве­ли­чи­ны ко­то­рых от­но­сят­ся со­от­вет­ствен­но как . Най­ди­те угол че­ты­рех­уголь­ни­ка . Ответ дайте в гра­ду­сах.

По­яс­не­ние.

пусть дуга равна тогда

 

Впи­сан­ный угол равен по­ло­ви­не дуги, на ко­то­рую он опи­ра­ет­ся, зна­чит,

Ответ: 60.

Ответ: 60

8. B 15 . Угол равен . Его сто­ро­на ка­са­ет­ся окруж­но­сти. Най­ди­те гра­дус­ную ве­ли­чи­ну боль­шей дуги окруж­но­сти, за­клю­чен­ной внут­ри этого угла. Ответ дайте в гра­ду­сах.

По­яс­не­ние.

Ка­са­тель­ная к окруж­но­сти пер­пен­ди­ку­ляр­на ра­ди­у­су, цен­траль­ный угол равен дуге, на ко­то­рую он опи­ра­ет­ся, зна­чит, тре­уголь­ник – пря­мо­уголь­ный и

 

Ответ: 114.

Ответ: 114

9. B 15 . В тре­уголь­ни­ке угол равен 90°, , . Най­ди­те .

По­яс­не­ние.

Из опре­де­ле­ния ко­си­ну­са:

 

 

Ответ: 20.

Ответ: 20

10. B 15 . В тре­уголь­ни­ке ABC угол C равен 90°, синус внеш­не­го угла при вер­ши­не A равен . Най­ди­те .

По­яс­не­ние.

сумма углов, при­ле­жа­щих к одной сто­ро­не па­рал­ле­ло­грам­ма равна , а их раз­ни­ца равна .

 

.

Ответ: 125.

 

Ответ: 125

По­яс­не­ние.

Ги­по­те­ну­за пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка яв­ля­ет­ся диа­мет­ром опи­сан­ной во­круг него окруж­но­сти, по­это­му ее длина 10. Тогда по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

 

Ответ: 8.

Ответ: 8