Вариант № 55824

1. B 15 . В тре­уголь­ни­ке угол равен 90°, . Най­ди­те синус внеш­не­го угла при вер­ши­не .

По­яс­не­ние.

Най­дем синус угла при вер­ши­не A:

Си­ну­сы смеж­ных углов равны, по­это­му синус внеш­не­го угла при вер­ши­не A равен 0,96.

Ответ: 0,96.

Ответ: 0,96

2. B 15 . В тре­уголь­ни­ке угол равен 90°, . Най­ди­те ко­си­нус внеш­не­го угла при вер­ши­не .

По­яс­не­ние.

так как

Ответ: –0,96.

Ответ: -0,96

3. B 15 . Точки O(0;, 0), A(6; 8), B(6; 2), C(0; 6) яв­ля­ют­ся вер­ши­на­ми че­ты­рех­уголь­ни­ка. Най­ди­те абс­цис­су точки P пе­ре­се­че­ния его диа­го­на­лей.

По­яс­не­ние.

 

,

,

,

.

Про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны по­пар­но равны, че­ты­рех­уголь­ник яв­ля­ет­ся па­рал­ле­ло­грам­мом, зна­чит, точка P яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной от­рез­ка CB. По­это­му ко­ор­ди­на­ты точки P вы­чис­ля­ют­ся сле­ду­ю­щим об­ра­зом:

 

, .

Ответ: 3.

Ответ: 3

4. B 15 . Точки O(0; 0), B(8; 2), C(2; 6) и A яв­ля­ют­ся вер­ши­на­ми па­рал­ле­ло­грам­ма. Най­ди­те абс­цис­су точки A.

По­яс­не­ние.

Пусть точка P яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной от­рез­ков OA и BC. Ко­ор­ди­на­ты точки P вы­чис­ля­ют­ся сле­ду­ю­щим об­ра­зом:

 

, ,

но с дру­гой сто­ро­ны,

, .

По­это­му , .

 

Ответ: 10.

Ответ: 10

5. B 15 . Две сто­ро­ны пря­мо­уголь­ни­ка равны 6 и 8. Най­ди­те ска­ляр­ное про­из­ве­де­ние век­то­ров  и .

По­яс­не­ние.

Ска­ляр­ное про­из­ве­де­ние двух век­то­ров равно про­из­ве­де­нию их длин на ко­си­нус угла между ними. Так как ко­си­нус пря­мо­го угла равен нулю, то и ска­ляр­ное про­из­ве­де­ние тоже равно нулю.

 

Ответ: 0.

Ответ: 0

6. B 15 . Ра­ди­ус окруж­но­сти равен 1. Най­ди­те ве­ли­чи­ну остро­го впи­сан­но­го угла, опи­ра­ю­ще­го­ся на хорду, рав­ную . Ответ дайте в гра­ду­сах.

По­яс­не­ние.

По тео­ре­ме си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка ACB имеем:

 

 

Сле­до­ва­тель­но, ис­ко­мый угол равен 45°.

 

Ответ: 45.

Ответ: 45

7. B 15 . Най­ди­те ко­си­нус угла . В от­ве­те ука­жи­те зна­че­ние ко­си­ну­са, умно­жен­ное на .

По­яс­не­ние.

до­стро­им угол до тре­уголь­ни­ка . Из ри­сун­ка на­хо­дим , , . Вос­поль­зу­ем­ся тео­ре­мой ко­си­ну­сов:

 

.

Тогда:

.

Ответ: -2.

 

Ответ: -2

8. B 15 . Пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка равен 12, а ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти равен 1. Най­ди­те пло­щадь этого тре­уголь­ни­ка.

По­яс­не­ние.

Пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна про­из­ве­де­нию его по­лу­пе­ри­мет­ра на ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти:

 

.

 

Ответ: 6.

Ответ: 6

9. B 15 . Най­ди­те впи­сан­ный угол, опи­ра­ю­щий­ся на дугу, ко­то­рая со­став­ля­ет окруж­но­сти. Ответ дайте в гра­ду­сах.

По­яс­не­ние.

 

Ответ: 36.

Ответ: 36

10. B 15 . Диа­го­на­ли ромба равны 12 и 16. Най­ди­те длину век­то­ра .