Полярная система координат — двухмерная система координат, в которой каждая точка на плоскости определяется двумя числами — полярным углом и полярным радиусом. Полярная система координат особенно полезна в случаях, когда отношения между точками проще изобразить в виде радиусов и углов; в более распространённой, декартовой или прямоугольной системе координат, такие отношения можно установить только путём применения тригонометрических уравнений.

Полярная система координат задаётся лучом, который называют нулевым или полярной осью. Точка, из которой выходит этот луч, называется началом координат или полюсом. Любая точка на плоскости определяется двумя полярными координатами: радиальной и угловой. Радиальная координата (обычно обозначается  ) соответствует расстоянию от точки до начала координат. Угловая координата также называется полярным углом или азимутом и обозначается  , равна углу, на который нужно повернуть против часовой стрелки полярную ось для того, чтобы попасть в эту точку.^[1]

Определённая таким образом радиальная координата может принимать значения от нуля добесконечности, а угловая координата изменяется в пределах от 0° до 360°. Однако, для удобства область значений полярной координаты можно расширить за пределы полного угла, а также разрешить ей принимать отрицательные значения, что отвечает повороту полярной оси по часовой стрелке.

Измерение горизонтальных углов.

При измерении горизонтальных углов применяют способы круговых приёмов или

повторений. Теодолит устанавливают в вершине угла и приводят его в рабочее

положение. Направление сторон угла, если измерения выполняются на дневной

поверхности, обозначаются вехами. В подземных условиях стороны обозначаются

отвесами или специальными сигналами.

Установка теодолита в рабочее положение состоит из двух операций :

центрирование и горизонтирование.

Центрирование заключается в размещении вертикальной оси теодолита над

вершиной угла (точкой) и осуществляется при помощи отвеса. Теодолит

устанавливают над точкой так, чтобы верхняя плоскость головки штатива была

горизонтальна, остриё отвеса проектировалось на точку. Современные теодолиты

оснащены оптическими центрирами, которые облегчают центрирование, особенно

при сильном ветре, и повышают точность.

Горизонтирование же заключается в приведении вертикальной оси теодолита в

отвесное положение. Для этого устанавливают уровень при алидаде

горизонтального круга по направлению 2-х подъемных винтов и , вращая их

выводят пузырёк уровня на середину; открепив алидаду, устанавливают уровень

по направлению 3-го винта и вращением последнего снова выводят пузырёк на

середину.

Способ приёмов. При неподвижном лимбе вращения алидады визируют на

заднюю точку А (см. рис. 1). Вначале по оптическому визиру зрительную трубу

наводят от руки, пока визируемая цель не попадёт в поле зрения. Затем

закрепляют винты алидады и зрительной трубы, и отфокусировав трубу по

предмету, выполняют визирование с помощью наводящих винтов и алидады и трубы

горизонтального круга. Затем берут отсчёт a по горизонтальному кругу и

записывают его в журнал измерений(табл. 1)

Открепив алидаду, визируют на переднюю точку С и берут отсчёт b. Тогда

значение правого на ходу угла b, определяется как разность отсчетов на заднюю и

переднюю точку:

b_кл=a-b Все эти действия составляют один полуприём. Затем сбивают

алидаду на 90^О и поворачивают на туже точку. Вычисляют значение

Ðb_кп

Два полуприёма составляют один полный приём. Расхождения результатов не

должно превышать двойной точности отстчётного устройства теодолита, т.е.

b_кл*b_кп£2t

Для теодолитов Т15 , 2Т30расхождение не превышает 0,7 мин. Или 1,5 мин для

теодолитов Т30.За окончательный результат принимают среднее значение угла.

Таблица 1. Журнал измерения горизонтальных углов способом приёмов.

Точки		Круг	Отсчёт по гор. кругу	Угол	Средний угол
стояния	Визирования.
А	3 7	КЛ КЛ	278О 20’ 244О 59’	33О 21’	3’
А	3 7	КП КП	43О38’ 10О 14’	33О 24’

Измерение и вычисление левого по ходу горизонтального угла(см. рис. 1),

производится по аналогично последовательности (таб. 1), с той лишь разницей,

что левый по ходу угол в каждом полуприёме рассчитывается как разность

отсчётов на переднюю и заднюю точки.

Измерение вертикальных углов.

В теодолитах для измерения углов наклона – вертикальных углов, между

направлениями визирной оси зрительной трубы и горизонтальной плоскостью-

используется угломерный круг, жёсткой укреплённый на оси вращения зрительной

трубы. На внешней части угломерного круга нанесены деления лимба, оцифровка

которых отличается в различных моделях теодолита.

Зрительная труба переворачивается через зенит. В связи с этим вертикальный

круг может оказаться справа от неё, это положение называется круг право (КП),

и слева (КЛ).

Главное условие, которое должно соблюдаться в вертикальном круге, заключается

в том, чтобы при совмещении нуля верньера с нулевыми шкалами вертикального

круга визирная ось зрительной трубы ZZ была параллельно оси цилиндрического

уровня LL. При соблюдении этого условия отсчёт по лимбу вертикального круга

даёт непосредственное значение угла наклона вертикальной оси зрительной

трубы. Если же ось уровня не || нулевому диаметру алидады, то при

горизонтальном положении визирной оси, зрительной трубы и оси уровня нуль

лимба не совпадает с нулём верньера, т.е. отсчёт по вертикальному кругу не

равен нулю.

Отсчёт по вертикальному кругу, соответствующий горизонтальному положению

визирной оси зрительной трубы, когда пузырёк уровня выведен на середину,

принято называть местом нуля, обозначается МО. Для определения значения МО

визируем зрительную трубу при КП и КЛ на одну и ту же точку, и берут отсчёты

по вертикальному кругу при каждом наведении трубы.

1. Для теодолитов с круговой оцифровкой вертикального круга против

2. часовой стрелки (Т30) значения МО и углов наклона могут быть рассчитаны по

3. формулам:

При вычислении надо руководствоваться правилом: к величинам КП,КЛ и МО , меньшим

90^О , необходимо прибавлять 360^О.

1. При секторной оцифровке лимба вертикального круга от нуля в обе

2. стороны – по ходу и против хода часовой стрелки, т.е. для теодолитов

3. 2Т30,Т15 ,2Е5 и др.

Вычисления МО и углов наклона можно выполнять по формулам.

При этом 360^О добавлять не нужно.

Правильность измерений вертикальных углов на станции контролируется

постоянством МО, колебания которые в процессе измерений не должны превышать

двойной точности отсчётного устройства. Все отсчёты заносятся в журнал

измерений.

Таблица

Теодолит Т30

Точки		Положение вертикального круга	Отсчёты по вертикальному кругу	Место нуля МО	Угол наклона u
стояния	Визирования
В	А	КЛ КП	4О 32’ 175 О 29’	0О 00’ 5’’	+4О 31’ 5’’
	С	КЛ КП	353О 43’ 186О 19’	0О 01’6’’	-6О 18’00’’

Масштаб и виды масштаба

Степень и способ уменьшения истинных размеров территории на бумаге называется масштаб.  Как вы узнали, и на плане, и на карте земную поверхность изображают в уменьшенном виде с помощью выбранного масштаба. Масштаб-это степень уменьшения длины линий на карте, плане, глобусе сравнению с их действительными размерами на Земле. Другими словами, масштаб показывает, сколько сантиметров на местности содержится в одном сантиметре на карте. Например, масштаб 1: 100 000 означает, что 1 см на карте соответствует 100 000 см на местности, или 1000 м или 1 км.

Чем в меньшее количество раз местность уменьшено при изображении ее на бумаге, тем больше масштаб изображения, и наоборот. Сравним два масштабы: 1: 25 000 и 1: 50 000. Понятно, что первый масштаб будет больше. От масштаба первую очередь зависит то, насколько подробно и насыщенно показано на карте объекты. На карту большего масштаба можно, например, нанести населенный пункт с обозначением всех его улиц. А на карте с мелким масштабом населенный пункт будет обозначен лишь небольшим кружком или многоугольником Масштаб придумали в Греции. Первым применил масштаб на карте греческий ученый Анаксимандр, живший в VII-VI вв. до н. е. Он создал карту мира с использованием масштаба, в центре которой размещалась Греция, а окружавшие ее известные тогда части Европы и Азии. Карту была сделана в форме круга, по краям которого располагался океан.  Различные виды масштабов. Масштаб указывают на каждом плане, географической карте и глобусе. Различают несколько видов масштаба. Масштаб, записанный в виде дробного числа, называют число ным. Пользоваться таким масштабом несложно. Рассмотрим это на примере. Допустим, нам необходимо определить расстояние в метрах между двумя точками на карте с масштабом 1: 100 000. Измерим на карте расстояние в сантиметрах с помощью линейки. Она равна 5,5 см. Поскольку на карте указанного масштаба изображения местности уменьшено в 100 000 раз, то действительное расстояние на местности будет в 100 000 раз больше, т.е. 5,5 см х 100 000 = 550 000 см. Переведем это расстояние с сантиметров в м. и километры (1 м = 100 см). Итак, 550 000 см = 5500 м, или 5,5 км. Этот же масштаб можно также подать словами: в 1 см - 5,5 км.Такой масштаб называют именований.  Чтобы избежать расчетов, пользуются линейным масштабом. С помощью циркуля (или полоски бумаги или нити) измеряют на карте расстояние между нужными точками, прикладывают циркуль к масштабу и определяют, почему отвечать данное расстояние на местности. Однако не всегда на карте расстояние можно измерить в целых сантиметрах. Для точного определения расстояний один из отрезков линейного масштаба (как правило, крайний левый) разбивают на мелкие деления в 1-2 мм.

Формы выражения масштаба

Обозначение масштаба на картах и планах имеет три формы: численного, именованного и линейного масштабов.

Численный масштаб выражают дробью, в которой числитель— единица, а знаменатель М — число, показывающее, во сколько раз уменьшены размеры на карте или плане (1:М)

В России для топографических карт приняты стандартные численные масштабы

1:1 000 000

1:500 000 

1:300 000

1:200 000

1:100 000

1:50 000

1:25 000

1:10 000.

Для специальных целей создают также топографические карты в масштабах 1:5 000 и 1:2 000.

Основными масштабами топографических планов в России являются

1:5000, 1:2000, 1:1000 и 1:500.

Однако в землеустроительной практике планы землепользований чаще всего составляют в масштабах1:10 000 и 1:25 000, а иногда - 1:50 000.

При сравнении различных численных масштабов более мелким является тот, у которого больше знаменатель М, и, наоборот, чем меньше знаменатель М, тем крупнее масштаб плана или карты.

Так, масштаб 1:10 000 крупнее, чем масштаб 1:100 000, а масштаб 1:50 000 мельче масштаба1:10 000.

Именованный масштаб

Так как длины линий на местности принято измерять в метрах, а на картах и планах - в сантиметрах, то масштабы удобно выражать в словесной форме, например:

В одном сантиметре 50 метров. Это соответствует численному масштабу 1:5000. Поскольку 1 метр равен 100 сантиметрам, то число метров местности, содержащееся в 1 см карты или плана, легко определяют путем деления знаменателя численного масштаба на 100.

Линейный масштаб

Представляет собой график в виде отрезка прямой, разделенного на равные части с подписанными значениями соразмерных им длин линий местности. Линейный масштаб позволяет без вычислений измерять или строить расстояния на картах и планах.

Точность масштаба

Предельная возможность измерения и построения отрезков на картах и планах ограничена величиной 0,01 см. Соответствующее ей число метров местности в масштабе карты или плана представляет собой предельную графическую точность данного масштаба.

Поскольку точность масштаба выражает длину горизонтального проложения линии местности в метрах, то для ее определения следует знаменатель численного масштаба разделить на 10 000 (1 м содержит 10 000 отрезков по 0,01 см). Так, для карты масштаба 1:25 000 точность масштаба равна 2,5 м; для карты 1:100 000 - 10 м и т. п.

 

Масштабы топографических карт

 

Численный масштаб  карты	Название карты	1 см на карте соответствует на местности расстоянию	1 см2на карте соответствует на местности площади
1:5 000 1:10 000  1:25 000 1:50 000  1:1100 000 1:200 000 1:500 000   1:1 000 000	Пятитысячная Десятитысячная Двадцатипятитысячная Пятидесятитысячная Стотысячная Двухсоттысячная Пятисоттысячная, или полумиллионная Миллионная	50 м 100 м 250 м 500 м 1 км 2 км 5 км   10 км	0,25 га 1 га 6,25 га 25 га 1 км2 4 км2 25 км2   100 км2

 

Ниже приведены численые маштабы карт и соответствующие им именованые масштабы:

1. Масштаб 1:  100 000

1 мм на карте - 100 м (0,1 км) на местности

1 см на карте - 1000 м (1 км) на местности

10 см на карте - 10000 м (10 км) на местности

2. Масштаб 1:10000

1 мм на карте – 10 м (0,01 км) на местности

1 см на карте - 100 м (0,1 км) на местности

10 см на карте - 1000м (1 км) на местности

3. Масштаб 1:5000

1 мм на карте – 5 м (0,005 км) на местности

1 см на карте - 50 м (0,05 км) на местности

10 см на карте – 500 м (0,5 км) на местности

4. Масштаб 1:2000

1 мм на карте – 2 м (0,002 км) на местности

1 см на карте – 20 м (0,02 км) на местности

10 см на карте – 200 м (0,2 км) на местности

5. Масштаб 1:1000

1 мм на карте – 100 см (1 м) на местности

1 см на карте – 1000см (10 м) на местности

10 см на карте – 100 м на местности

6. Масштаб 1:500

1 мм на карте – 50 см (0,5 метра) на местности

1 см на карте – 5 м на местности

10 см на карте – 50 м на местности

7. Масштаб 1:200

1 мм на карте –0,2 м (20 см) на местности

1 см на карте – 2 м (200 см) на местности

10 см на карте – 20 м (0,2 км) на местности

8. Масштаб 1:100

1 мм на карте – 0,1 м (10 см) на местности

1 см на карте – 1 м (100 см) на местности

10 см на карте – 10м (0,01 км) на местности

Пример 1.

Переведите численный масштаб карты в именованный:

а) 1 : 200 000

б) 1 : 10 000 000

в) 1 : 25 000

Решение:

Для более легкого перевода численного масштаба в именованный нужно посчитать, на сколько нулей кончается число в знаменателе.

Например, в масштабе 1 : 500 000 в знаменателе после цифры 5 находится пять нулей.


Если после цифры в знаменателе пятьи более нулей, то, закрыв (пальцем, авторучкой или просто зачеркнув) пять нулей, получим число километров на местности, соответствующее 1 сантиметру на карте.

Пример для масштаба 1 : 500 000

В знаменателе после цифры — пять нулей. Закрыв их, получим для именованного масштаба: в 1 см на карте 5 километров на местности.


Если после цифры в знаменателе менее пяти нулей, то, закрыв два нуля, получим число метров на местности, соответствующее 1 сантиметру на карте.

Если, например, в знаменателе масштаба 1 : 10 000 закроем два нуля, получим:

в 1 см — 100 м.

Ответы:

 а) в 1 см — 2 км;

б) в 1 см — 100 км;

в) в 1 см — 250 м.

Используйте линейку, накладывайте на карты для облегчения измерения расстояний.

Пример  2. 

 Переведите именованный масштаб в численный:

а) в 1 см — 500 м

б) в 1 см — 10 км

в) в 1 см — 250 км 

Решение:

Для более легкого перевода именованного масштаба в численный нужно перевести расстояние на местности, указанное в именованном масштабе, в сантиметры.

Если расстояние на местности выражено в метрах, тогда чтобы получить знаменатель численного масштаба, нужно приписать два нуля, если в километрах, то пять нулей.


Например, для именованного масштаба в 1 см — 100 м расстояние на местности выражено в метрах, поэтому для численного масштаба приписываем два нуля и получаем: 1 : 10 000.

Для масштаба в 1 см — 5 км приписываем к пятерке пять нулей и получаем: 1 : 500 000.

Ответы:

  а) 1 : 50 000;

б) 1 : 1 000 000;

в) 1 : 25 000 000.

Карты в зависимости от масштабов условно подразделяют на следующие типы:

▪   топографические планы — 1:400 - 1:5 000;

▪   крупномасштабные топографические карты — 1:10 000 - 1:100 000;

▪   среднемасштабные топографические карты — от 1:200 000 - 1:1 000 000;

▪   мелкомасштабные топографические карты — менее 1:1 000 000.