Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

ПЕТРОЗАВОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Ю. А. Дорофеева, В. Е. Соколов, А. В. Сысун

Учебно-методические пособие

Математическое программирование

Петрозаводск

Издательство ПетрГУ

2014

УДК 519

ББК 22.183

Д69 4

Рецензенты: кандидат физ-мат наук, доцент кафедры ИМО Сиговцев Г.С.

Издается в рамках реализации комплекса мероприятий Программы стратегического развития ПетрГУ на 2012 – 2016 гг.

Дорофеева, Ю. А.

Д.694 Математическое программирование / Ю. А. Дорофеева, В. Е. Соколов, А. В. Сысун. – Петрозаводск : Изд-во ПетрГУ, 2013. – 56 с.

Методическое пособие предназначено для самостоятельной подготовки студентов заочного отделения к экзамену по курсу «Математическое программирование»

ББК 22.183

УДК 519

© Дорофеева Ю. А, Соколов В. Е., Сысун А. В.., 2014

© Петрозаводский государственный    университет, 2014

Оглавление

Задача линейного программирования

Первое упоминание в 1938 г. о математических методах в эффективном управлении производством принадлежит советскому математику Л. В. Канторовичу. Год спустя, в 1939 г., Л. В. Канторович опубликовал работу «Математические методы организации и планирования производства» и практически применил полученные результаты. Термин «линейное программирование» ввели американские математики Дж. Данциг и Т. Купманс в конце 40-х годов. Общая задача линейного программирования (ЗЛП) формулируется так: требуется найти точку , которая доставляет экстремальное значение (min или max) линейной формы (линейной функции) при наличии ограничений: и .

Графический метод решения задачи линейного программирования

Графический метод решения ЗЛП целесообразно использовать для решения задач с двумя переменными. В случае трех переменных графическое решение становится менее наглядным, а при большем количестве переменных- невозможным.

Алгоритм графического метода решения ЗЛП с двумя переменными

1. По ограничениям задачи строится область допустимых значений (ОДЗ). Каждому неравенству на плоскости соответствует полуплоскость, каждому уравнению соответствует прямая, ОДЗ будет пересечением построенных полуплоскостей и прямых. Возможны несколько вариантов ОДЗ (замкнутая область, неограниченная область, луч, отрезок, точка, пустое множество). Если ОДЗ- пустое множество, то задача не имеет решения, если ОДЗ не пусто -идём на шаг 2.

2. Строим вектор градиента, координаты начала вектора =0, =0, координаты конца вектора , где - координаты целевой функции.

3. Строим линию уровня целевой функции. Линия уровня целевой функции перпендикулярна вектору градиента и должна проходить по ОДЗ задачи.

4. Определяем точки из ОДЗ, которые могут являться оптимальным решением. Если целевая функция на максимум, то линию уровня перемещаем параллельно самой себе вдоль направления линии градиента до последней точки ОДЗ. Если целевая функция на минимум, то линию уровня перемещаем в направлении, противоположном градиенту.

5. Точное определение координат оптимального решения. Подставляем значения получившихся точек в п. 4 в целевую функцию. Полученное значение будет являться решением задачи.

Пример

Построить область определения функции цели и графическим методом найти наибольшее и наименьшее значения функции в этой области.

Решение

Для того чтобы построить область определения данной функции, необходимо решить систему графическим методом, для чего построим на координатной плоскости следующие прямые:

_I.

Подберем такие , которые будут являться решением данного уравнения.

	0	3
	6	0

Любая прямая делит плоскость на две полуплоскости. Для того чтобы найти полуплоскость, удовлетворяющую начальному неравенству подставим любую точку из двух полуплоскостей. Если она удовлетворяет неравенству, значит, эта точка и вся полуплоскость удовлетворяют нашему неравенству. Иначе выбираем другую полуплоскость.

Неравенству удовлетворяет верхняя полуплоскость, образовавшаяся при делении плоскости прямой I.

То же самое делаем с другим неравенством.

II.

	0	10
	5	0

Неравенству удовлетворяет нижняя полуплоскость.

III.

	0	6
	6	0

Решением данного уравнения является прямая III.

Неравенства , также образуют прямые, параллельные осям абсцисс и ординат и проходящие непосредственно по ним. Неравенство удовлетворяет верхней полуплоскости, неравенство удовлетворяет правой полуплоскости.

Таким образом, решение системы

находится в I четверти координатной плоскости, заключено между прямыми I и II, и при этом принадлежит прямой III, всем этим условиям соответствует отрезок АВ.

Координаты точки В мы нашли ранее-В(6;0), координаты точки А находятся решением системы:

Точка А имеет координаты (2;4).

Рис.1 Графическое решение задачи линейного программирования

Для того чтобы найти минимальное и максимальное значения функции при заданных ограничениях, построим вектор (3;2), координаты вектора берутся в виде коэффициентов при неизвестных целевой функции (см. рис.1). Затем построим перпендикулярно вектору прямую, проходящую через начало координат, перемещая данную прямую в направлении вектора заметим, что она входит в область определения в точке А (на рисунке 1 прямая а), это минимум данной функции. При дальнейшем перемещении прямой видно, что она выходит из области определения в точке В (на рисунке прямая b), это максимум данной функции.

Решить самостоятельно

Решить графическим методом.