2.4. Композиция отображений

Определение. Пусть заданы два отображения

: , :

причем . Тогда определена композиция: : отображений и равенством .

Композиция является отображением, так как однозначно определен элемент , , и, следовательно, однозначно определен элемент .

Примеры.

1. : , .

, .

Проверим, определены ли композиции и .

В виду того, что , то композиция определена

, .

В силу того, что не является подмножеством множества , являющегося областью определения функции , то композиция не определена.

2. Пусть заданы два отображения и

Здесь , поэтому композиция определена. Отображение переводит элемент в элемент , отображение переводит элемент в элемент , поэтому, аналогично , , .

Теорема. Операция композиции отображений ассоциативна, т.е. если , , , то

. (1)

Доказательство. Отметим, что отображения и определены (проверить самостоятельно). Далее, равенство (1) означает, что

.

Мы получили тождество, поэтому (1) доказано. Равенство (1) означает, что в выражении скобки можно расставлять произвольно.

2.5. Обратимые и обратные отображения

Определение 1. Отображение : называется взаимнооднозначным соответствием или биекцией, если прообраз любого элемента состоит только из одного элемента . Равносильное условие: для любого уравнение имеет только одно решение .

Например, отображение

является биективным.

Определение 2. Отображение : называется обратимым, если существует отображение : , такое, что

, ,

где , ,

, .

Отображение называется обратным к .

Теорема (равносильность условий биективности и обратимости). Отображение обратимо тогда и только тогда, когда оно биективно.

Доказательство. Пусть отображение биективно, тогда прообраз любого элемента состоит только из одного элемента . Тем самым определено некоторое отображение : . Покажем, что , .

, т.е.

, т.е. .

Таким образом, отображение обратимо.

Обратно, пусть отображение - обратимо, т.е. существует отображение и , .

Применим к уравнению отображение :

или .

В силу обратимости отображения имеем

.

Таким образом, уравнение имеет единственное решение и, следовательно, ­- биекция.

Отметим, что если : обратная к , то функция : является обратной к . Поэтому функции и называются взаимнообратными.

Примеры.

1. Рассмотрим , , где .

Для уравнение имеет единственное решение , поэтому обратимо и определяется равенством

.

2. Покажем, что отображение , не обратимо.

Действительно, уравнение имеет два решения , . Поэтому отображение не обратимо.

3. Отображение , не обратимо, так как уравнение не имеет решений.