Упражнения для самостоятельной работы
1. Опишите множества
.
2. Опишите перечислением всех элементов следующие множества:
,
,
,
.
3. Опишите множества
,
,
,
где
,
.
4. Найдите множества
,
,
,
если
,
.
Изобразите найденные множества на
числовой оси.
5. Определите
следующие множества
,
,
,
,
,
.
6. Даны множества
,
,
.
Найдите
,
положив
.
7. Докажите, что
.
8. Докажите, что
равенства
,
верны тогда и только тогда, когда
.
9. Найдите множества:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
,
если
,
,
.
10. Докажите тождество:
а)
;
б)
;
в)
11. Опишите множества
,
,
если
,
.
12. Найдите и
изобразите на координатной плоскости
следующие множества
,
,
,
где
,
,
.
13. Опишите и
изобразите на координатной плоскости
следующие множества
,
,
,
,
,
.
2. Элементы теории функций
2.1. Отображения и функции
Определение 1.
Пусть заданы
множества
и
.
Отображением
множества
в
или функцией, определенной на множестве
и принимающей значения в
,
называется соответствие (закон, правило)
,
по которому каждому элементу
из
сопоставляется один и только один
элемент
из множества
.
Запись
:
означает, что отображение
действует из
в
.
Множество
называют исходным множеством отображения
или областью
определения функции
,
множество
- конечным множеством отображения или
областью
значения функции.
Примеры.
1. «Месяц рождения»
может быть правилом, связывающим элементы
множества людей
с элементами
множества месяцев
.
Для каждого элемента
существует единственный элемент
,
т.к. каждый человек родился в каком-то
определенном месяце. В приведенном
примере имеет место отображение
множества людей
в множество месяцев
,
т.е.
.
2. Рассмотрим два
соответствия
и
,
приведенные на рис. 2. Соответствие
(рис.
2а) является отображением, т.к. каждому
элементу
сопоставляется единственный элемент
.
Соответствие
(рис. 2б) не является отображением, т.к.
элементу
(и элементу
)
сопоставляется не единственный элемент
множества
.
а) б)
Рис. 2
Определение 2.
Отображение
,
определенное равенством
называется тождественным
и обозначается
,
т.е. тождественное отображение
:
оставляет элементы множества
на месте.
Определение 3.
Отображение
называется постоянным,
если
для любого элемента
из
является одним и тем же элементом из
:
,
где
.
Определение 4.
Пусть задана
функция
.
Элемент
,
соответствующий элементу
при отображении
,
называется образом
элемента
или значением функции
,
соответствующим элементу
.
Элемент обычно называют аргументом функции .