2. Практическая часть Занятие 1. Выполнение стандартных расчетов количественных характеристик случайных переменных

Пример 2.1. Бросается правильная игральная кость 10 раз. Обозначим символом h количество выпадаемых очков ее верхней грани, а символом k – количество очков на нижней грани кости. Случайная переменная x формируется по закону x = 3∙h - 2∙k + 5

Требуется по имеющейся выборке, полученной экспериментальным путем и представленной в таблице 1.1. (строки - значения h_i и значения k_i)

{(h₁,k₁), (h₂,k₂),…, (h_n,k_n)},

Таблица 1.1

№ опыта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
значения hi	4	6	5	2	3	6	4	3	1	3
значения ki	6	5	1	4	2	6	2	4	5	1

определить согласно правилу х_i = 3∙h_i - 2∙k_i + 5 величины (х₁, х₂,..., х_n), а затем по ним оценить следующие количественные характеристики:

1) Е(h), Е(k), Е(х); 2) Var(h), Var(k), Var(х); 3) σ_h, σ_k, σ_x;

4) C_hk = Cov(h,k), C_хh = Cov(x,h), C_хk = Cov(x,k);

5) ρ_hk = Cor(h,k), ρ_xh = Cor(x,h), ρ_хk = Cor(x,k);

Решение

Рассчитаем сначала значения величин (х₁, х₂,..., х₁₀)

№ опыта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
значения hi	4	6	5	2	3	6	4	3	1	3
значения ki	6	5	1	4	2	6	2	4	5	1
значения xi	5	13	18	3	10	11	13	6	-2	12

1. Используя полученные данные, рассчитаем по формуле (1.1) значения E(h), Е(k), Е(x):

E(h) = 3,7; Е(k) = 3,6; Е(x) = 8,9.

Проведем также расчет Е(x), используя свойства математического ожидания, что E(c)= 0 и E(c₁∙x+c₂∙y) = c₁∙E(x) + c₂∙E(y) (где с, с₁ и с₂ – константы):

E(3∙h - 2∙k + 5) = 3∙E(h) - 2∙E(k)+ 5 = 3∙3,7 -2∙3,6 + 5 = 8,9

2. Рассчитаем по формуле (1.4) значения σ²_h=Var(h), σ²_k=Var(k), σ²_x=Var(х), а по формуле (1.6) значения σ_h, σ_k, σ_x:

σ²_h = Var(h) = 2,41; σ²_k = Var(k) = 3,44; σ²_x = Var(х) = 30,89;

σ_h = 1,55; σ_k =1,85 ; σ_x = 5,56 ;

Проведем расчет σ²_x=Var(х), используя свойства дисперсии из представленных в (1.7), т. е., что Var(x+c)= Var(x) и Var(c₁∙x+c₂∙y) = c²₁∙Var(x) + c²₂∙Var(y) + 2∙c₁∙c₂∙С_xy, а также полученных выше значений Var(h) и Var(k), и сравним его с полученным выше по формуле (1.4). Значение C_hk = 0,38

Var(х) = Var(3∙h - 2∙k + 5) = 9∙Var(h) + 4∙Var(k) + 2∙3∙(-2)∙C_h,k = 9∙2,41 + 4∙3,44 - 12∙0,38 = 30,89

3. Рассчитаем выборочные ковариации C_hk = Cov(h,k), C_хh = Cov(x,h), C_хk = Cov(x,k) по формуле (1.8):

C_hk = 0,42; C_хh= 7,19, C_хk = - 6,38

Используя свойства ковариации, что Cov(x+с,у)=Cov(x,у) и Cov(x+y,z)=Cov(x,z) + Cov(y,z), найдем значение C_хk и сравним его с полученным по формуле (1.8):

C_xh = Cov(x, h) = Cov(3∙h - 2∙k + 5, h) = 3∙Cov(h,h) - 2∙Cov(k,h) + Cov(5,h) = 3∙Var(h) - 2∙Cov(k, h) + 0 = 3∙2,41 - 2∙0,42 ≈ 6,39.

4. Рассчитаем коэффициенты корреляции ρ_hk = Cor(h,k), ρ_xh = Cor(x,h), ρ_хk = Cor(x,k) по формуле (1.10):

ρ_hk = 0,13; ρ_xh = 0,75; ρ_хk = - 0,55