Примеры выполнения заданий

З адача 1. Решить методом Гаусса с точностью до 0,001 систему алгебраических уравнений

3x₁ + 5x₂ + 7x₃ + 3x₄ = -22,

5x₁ + 2x₂ + 4x₃ + 7x₄ = 36,

7x₁ + 4x₂ + 3x₃ – 5x₄ = -26,

4x₁ + 3x₂ + 5x₃ + 6x₄ = 28.

Полученное решение проверить непосредственной подстановкой найденных значений неизвестных во все уравнения исходной системы, а также решив систему методом обратной матрицы. Окончательные результаты округлить до трех десятичных знаков после запятой.

В таблице 1 приложения представлен порядок выполнения необходимых для данной задачи операций в программе Excel. При этом отметим основное правило: «Любая формула в Excel начинается со знака “=”».

	A				b
	3	5	7	3	-22
	5	2	4	7	36
	7	4	3	-5	-26
	4	3	5	6	28

Таблица 3

Решение

Этап 1.

Задаем матрицы A и b исходной

системы

Введем обозначения: A1, A2, A3 – пошаговые преобразования исходной расширенной матрицы системы.

A1				b1
1	1,6666	2,3333	1	-7,3333
0	-6,3333	-7,6666	2	72,666
0	-7,6666	-13,333	-12	25,333
0	-3,6666	-4,3333	2	57,333

Таблица 4

Этап 2.

Формируем матрицу A1

(описание преобразований см. ниже)

Преобразования A → A1:

а) Первую строку необходимо разделить на коэффициент a₁₁ (коэффициент при x₁ в исходной системе, =3), используя п.2 прил. 1.:

Таким образом, получаем первую строку матрицы A1 (см. табл.4).

б) Для получения второй строки необходимо из 2-ой строки вычесть первую строку A1, умноженную на коэффициент матрицы A ( ). Для этого используем п. 4 прил.1.

Так, получаем вторую строку матрицы A1.

в) Третью строку матрицы A1 получаем аналогично: из элементов 3-ей строки матрицы А вычитаем элементы первой матрицы А1, умноженной на коэффициент матрицы А ( ).

г) Аналогично получаем четвертую строку матрицы А1, вычитая из четвертой строки матрицы А первую строку матрицы А1,умноженную на коэффициент при четвертой строки А.

Таблица 5

A2				B2
1	1,6666	2,3333	1	-7,3333
0	1	1,2105	-0,3157	-11,473
0	0	-4,0526	-14,421	-62,631
0	0	0,1052	0,8521	15,263

Этап 3.

Формируем матрицу А2

(описание преобразований см. ниже)

Преобразования A1→ A2:

а) Первая строка остается без изменений, т.е. переносим в первую строку матрицы A2 первую строку матрицы A1 (см. п.1 приложения 1).

б) Вторую строку матрицы A2 получаем делением второй строки матрицы A1 на коэффициент при равный-6,333 второй строки матрицы A1.

в) Третью строку матрицы A2 получаем вычитанием из 3-й строки матрицы A1 второй строки матрицы A2, умноженной на коэффициент при (-7,6666) третьей строки матрицы A1.

г) Четвертую строку матрицы A2 получаем вычитанием из 4-ой строки матрицы A1 второй строки матрицы A2, умноженной на коэффициент при

равный -3,6666, 4-ой строки матрицы A1. Получили матрицу A2 (см. табл. 5).

Этап 4.

Формирование Таблица 6

A3				b3
1	1,6666	2,3333	1	-7,3333
0	1	1,2105	-0,3157	-11,473
0	0	1	3,5584	15,454
0	0	0	0,4675	13,636

матрицы A3

Преобразования A2→ A3:

а) Переносим первые 2 строки матрицы A2 в матрицу A3.

б) Третью строку матрицы A3 получаем делением третьей строки предыдущей матрицы A2 на коэффициент при равный-4,0526, матрицы A2.

в) Четвертую строку матрицы A3 получаем, вычитая из 4-й строки матрицы A2 третью строку матрицы A3, умноженную на коэффициент при , равный 0,1052,четвертой строки матрицы A2. И получаем четвертую матрицу (см. табл. 6).

Таблица 7

	-4,83333
	104,6667
	-88,3333
	29,1666

Этап 5.

Составляем столбец решений

(двигаемся по последней матрице снизу вверх)

а) Переменную находим делением четвертой строки матрицы A3 на коэффициент при , равный 0,4675. Получаем =29,1666.

б) Подставляя найденное =29,1666 в третье уравнение, получаем :

в) .

г) .

Таблица 8

	Проверка
	A*x			-22
				36
				-26
				28

Этап 6.

Выполняем проверку подстановкой, т.е.

умножаем исходную матрицу А

на полученный столбец неизвестных x,

в результате чего должны получить столбец b.

Для умножения матрицы A на полученный столбец x применим п. 5 приложения 1, выделив столбец из трех ячеек.

A^(-1)	0,194444	0,694444	0,055556	-0,86111
	-3,55556	-6,55556	0,555556	9,888889
	2,944444	4,944444	-0,44444	-7,61111
	-0,80556	-1,30556	0,055556	2,138889
A^(-1)*b	-4,83333
	104,6667
	-88,3333
	29,16667

Этап 7.

Таблица 9

Нахождение обратной матрицы и решение исходной системы методом обратной матрицы

а) Чтобы найти , надо выделить курсором столько ячеек, сколько занимает матрица , т.е. 16 ячеек, а далее см. п. 6 приложения.

б) Для получения столбца неизвестных умножаем полученную обратную матрицу на столбец b (см.п.5 прил. 1), выделив курсором столбец из четырех ячеек (т.к. n=4).

Все вычисления при решении системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса необходимо оформить в виде таблицы 10.

Таблица 10

Ответ. .

Задача 2. Решить методом итерации с точностью до 0,01 систему алгебраических уравнений

Р ешение. а) Данная система уже приведена к виду, готовому к методу итерации, для которой 0 0,33 -0,16

С = -0,5 0 -0,16 -матрица коэффициентов

-0,2 -0,4 0

переменных правых частей уравнений, - столбец свободных членов уравнений системы.

б) В качестве начального приближения выбираем , т.е.

в) Подставим выбранное начальное приближение в исходную систему x=C٠x+d. Для этого:

• Перемножим матрицы C и x (см. п. 5 прил.1);

• Сложим матрицы C٠x и d (см. п. 7 прил.1).

Тем самым находим следующее приближение

г) Вычисляем точность, используя действие п. 8 приложения.

д) Выполняем итерации по указанной схеме до тех пор, пока не будет достигнута заданная точность e=0,01.

Вычисления оформляем в виде таблицы (табл.11).

Ответ:.

Задача 3. Решить методом Зейделя с точностью до 0,01 систему алгебраических уравнений

Решение. Метод Зейделя представляет модификацию метода итераций. Первоначальные этапы решения задачи этим методом аналогичны этапам метода итераций (составление матриц C и d, выбор начального приближения):

0 0,33 -0,16 3,66 3,66

С= -0,5 0 -0,16 , d= -3,16 , x =d = -3,16 , т.е. x =3

-0,2 -0,4 0 1,4 1,4

x = -3, 16, x = 1, 4.

Подставляем выбранное начальное приближение в исходную систему

x=C ∙ x + d следующим образом:

x = 0, 33 ∙x + (-0,16) ∙x +3,66;

x = -0, 5 ∙x + (-0, 16) ∙x + (-316);

x = -0, 2 ∙x + (-0, 4) ∙x +1, 4.

Т.е. при вычислении следующего приближения переменных учитываются уже вычисленные ранее эти приближения предыдущих переменных. Причем программу Excel применяем здесь только в качестве калькулятора, поэтому необходимо внимательно прописывать в таблице все вычисления.

Тем самым, находим следующее приближение x . Вычисляем погрешность (см. п. 8 прил. 1), сравниваем ее с заданной точностью.

г) Выполняем итерации по указанной схеме до тех пор, пока не будет достигнута заданная точность e = 0,01.

Вычисления оформляем в виде таблицы (табл. 11).

Ответ: x ≈1,73, x ≈-4,48, x ≈2,85.